Grenseverdier, epsilon, delta, N

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Grenseverdier, epsilon, delta, N

Innlegg smiley123 » 04/12-2018 15:10

Hei!

Sliter litt med å forstå hvordan epsilon/delta/N for beregning av grenseverdier for funksjoner og følger fungerer. Her er to oppgaver jeg sliter spesielt med å skjønne:

Bevis at følgende grenser eksisterer og er riktige.
a) Ved hjelp av ε/N: lim x→∞ x/(2x−3) = 1/2
b) Ved hjelp av N/δ: lim x→3 1/(3-x)^2 = ∞

Noen som har en god forklaring på hvordan disse kan løses?
smiley123 offline

Re: Grenseverdier, epsilon, delta, N

Innlegg DennisChristensen » 04/12-2018 19:26

smiley123 skrev:Hei!

Sliter litt med å forstå hvordan epsilon/delta/N for beregning av grenseverdier for funksjoner og følger fungerer. Her er to oppgaver jeg sliter spesielt med å skjønne:

Bevis at følgende grenser eksisterer og er riktige.
a) Ved hjelp av ε/N: lim x→∞ x/(2x−3) = 1/2
b) Ved hjelp av N/δ: lim x→3 1/(3-x)^2 = ∞

Noen som har en god forklaring på hvordan disse kan løses?


(a) La $\varepsilon > 0$ være gitt. Vi ønsker å finne et tall $N$ slik at dersom $x\geq N$, så er $|\frac{x}{2x-3} - \frac12| < \varepsilon$. Nå,
$$|\frac{x}{2x-3} - \frac12| = |\frac{2x - (2x-3)}{2(2x-3)}| = |\frac{3}{2(2x - 3)}| = \frac32\frac{1}{|2x-3|}.$$
Altså, om vi velger $N > \frac{3(1+2\varepsilon)}{4\varepsilon}$, får vi dermed at
$$|\frac{x}{2x-3} - \frac12| = \frac32\frac{1}{|2x-3|} < \frac32\frac{1}{2\frac{3(1+2\varepsilon)}{4\varepsilon} - 3} = \frac32\frac{2\varepsilon}{3 + 6\varepsilon - 6\varepsilon} = \frac32\frac{2\varepsilon}{3} = \varepsilon.$$

Du klarer kanskje å komme videre med (b) selv nå?
DennisChristensen offline
Abel
Abel
Innlegg: 672
Registrert: 09/02-2015 23:28
Bosted: Oslo

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 16 gjester