Adventsproblem 2

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Adventsproblem 2

Innlegg Gustav » 06/12-2018 12:52

Finn alle funksjoner $f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ slik at
$$ 2\cdot f(x)-g(x)=f(y)-y , \text{og}\\ f(x)\cdot g(x)\ge x+1$$
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4161
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Adventsproblem 2

Innlegg DennisChristensen » 06/12-2018 15:38

Gustav skrev:Finn alle funksjoner $f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ slik at
$$ 2\cdot f(x)-g(x)=f(y)-y , \text{og}\\ f(x)\cdot g(x)\ge x+1$$


Om vi setter $y=0$ og $y=x$ inn i likningen ser vi at $2f(x) - g(x) = f(0)$ og $f(x) - g(x) = -x.$ Subtraherer vi disse likningene får vi at $f(x) = f(0) + x$ og $g(x) = f(0) + 2x.$ Ulikheten sier dermed at $f(0)^2 + 3xf(0) + (2x^2 - x - 1) \geq 0$ for alle $x\in\mathbb{R}$. Spesielt må dette gjelde for $x=-2f(0)$, så vi vet at $-\left(f(0) - 1\right)^2 \geq 0.$ Dette impliserer at $f(0) = 1$ er eneste mulighet, men ettersom $f(0) = 1 \implies f(0)^2 + 3xf(0) + (2x^2 - x - 1) = 2x^2 + 2x$, et uttrykk som er negativt når $x\in (-1, 0)$, vet vi at det ikke finnes noen slike funksjoner.
DennisChristensen offline
Abel
Abel
Innlegg: 672
Registrert: 09/02-2015 23:28
Bosted: Oslo

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 17 gjester