matematikk.net

Hei, jeg lurer på om det er noen der ute som har noen matematiske forklaringer for størst og minst vekst som de vil dele? Jeg arbeider nå med R1, og den vedlagte illustrasjonen gir ikke mening for meg. Jeg beskjærte desverre ut teksten til, men det sto at de to øverste grafene er eksempler der det er størst vekst, mens de to nederste visst har minst vekst i det gitte punktet. Det er spesielt de to grafene til høyre jeg finner forvirrende. I den i øvre høyre hjørne, står det at den deriverte skifter fortegn fra negativ til positiv, og dette burde da være ett bunnpunkt for f'(x), og dermed gi den minste veksten. For den i nedre høyre hjørne står det at den andrederiverte skifter fortegn fra positivt til negativt, og slik jeg forstår dette burde dette være et toppunkt for f'(x). Da burde vi få størst vekst (?).
Jeg har også prøvd å se for meg tangenter til et punkt som beveger seg på grafen til f, og slik jeg forstår det burde det i det første tilfellet være slik at tangenten blir brattere og brattere (og peker nedover), mens i vendepunktet snur den og vender så mer og mer oppover, og det motsatte for grafen i nedre hjørne.
Nå lurer jeg også på om jeg kan ha misforstått teksten, kan det være at det refereres til vekstens absoluttverdi, og at jeg må se bort fra fortegn?

det sto at de to øverste grafene er eksempler der det er størst vekst, mens de to nederste visst har minst vekst i det gitte punktet.

Hvis det er dette som står i boken, så betyr det at vi må se bort fra fortegnet til deriverte, og kun se på absoluttverdien.

Dvs. at "størst" og "minst" vekst ikke er ensbetydene med "høyest" og "lavest" tallverdi til den deriverte.

"størst vekst" betyr da "$|f'(x)|$ høyest mulig verdi"
"minst vekst" betyr da "$|f'(x)|$ lavest mulig verdi"

Altså ser vi på absoluttverdien til den deriverte.

Dvs. den minste mulige veksten for en graf er når den deriverte er lik null (= ingen vekst overhodet), mens den deriverte forskjellig fra null da betyr "større vekst", enten det er i positiv eller negativ retning.

I grafen til oppe til venstre, så har den deriverte den høyeste tallverdien i punktet markert med den stiplede linjen. F.eks. dvs. hvis $f^\prime = 4$ i dette punktet, så vil $f' < 4$ i alle de andre punktene.

I grafen oppe til høyre, så har den deriverte den *laveste* tallverdien i punktet markert med den stiplede linjen. Dvs. hvis den deriverte er $f^\prime = -4$ i dette punktet, så vil $f^\prime > -4$ for alle de andre punktene. Altså kan vi si at den deriverte i alle de andre punktene er nærmere null, enn det stiplede punktet, altså er veksten mindre, selv om deriverte har en høyere tallverdi.

Nå lurer jeg også på om jeg kan ha misforstått teksten, kan det være at det refereres til vekstens absoluttverdi, og at jeg må se bort fra fortegn?

For meg ser det slik ut.

Det er åpenbart fra posten at du forstår hvordan funksjoner, deriverte, tangenter, og dobbeltderiverte henger sammen. Det er bare teksten i boken som er litt forvirrende.

Takk for svar! Lettere sagt skjønner jeg nå at det handler om der grafen er mest eller minst bratt