matematikk.net

Har en irrasjonal likning, hvor vi har

[tex]\sqrt{(x-2)^2+y^2+(z-2)^2}=\sqrt{(x-4)^2+(y-2)^2+z^2}[/tex]

Jeg kvadrerer begge sider, og får til slutt [tex]x+y-z-3=0[/tex].
Dette er et uttrykk som stemmer med fasit. Men, når det kommer til utelukking av falske løsninger, forstår jeg ikke helt fasitens begrunnelse.
Den sier:
Begge sider er positive når vi kvadrer, så vi får ingen falske løsninger. Likningen for det
geometriske stedet er likningen for planet [tex]x+y-z-3=0[/tex]

Kan noen forklare dette for meg? Takk!

La oss si at vi har følgende ligning:

$\sqrt{x+3}=\sqrt{y-2}$.

Kvadrerer vi fås $x+3=y-2$, der $x=-4, y=1$ er én løsning, men det gir at venstresiden i den opprinnelige ligningen er $\sqrt{x+3}=\sqrt{-4+3}=\sqrt{-1}$, som ikke er tillatt (når vi jobber med reelle tall). På den måten oppstår falske løsninger.


I det problemet du presenterer vil ikke dette være et problem da uttrykkene inni rottegnene alltid er ikkenegativ (sum av kvadrater), uansett verdier av $x,y,z$. Dermed fås ingen falske løsninger.