Gammel IMC-ulikhet

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Gammel IMC-ulikhet

Innlegg Gustav » 04/01-2019 21:55

La $f$ være en kontinuerlig funksjon på $[0,1]$ slik at for alle $x\in [0,1]$ er $\int_x^1 f(t)\,dt \ge \frac{1-x^2}{2}$.

Vis at $\int_0^1 f^2(t)\,dt \ge \frac13$
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4275
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Gammel IMC-ulikhet

Innlegg Markus » 05/01-2019 00:11

Gustav skrev:La $f$ være en kontinuerlig funksjon på $[0,1]$ slik at for alle $x\in [0,1]$ er $\int_x^1 f(t)\,dt \ge \frac{1-x^2}{2}$.
Vis at $\int_0^1 f^2(t)\,dt \ge \frac13$

Er ulikhetstegnet rett vei helt nederst der? Bare sånn for å være helt sikker. Gjorde noe, men fikk ulikhetstegnet andre veien, men jeg tror jeg vet hvor jeg har gjort feil.

Edit: Det jeg gjorde var definitivt feil, så regner med at det er rett vei. Får prøve å finne en annen måte.
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 759
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Gammel IMC-ulikhet

Innlegg Gustav » 05/01-2019 01:07

Tror nok det er korrekt som jeg postet det.

Hint:
[+] Skjult tekst
Det kan være en idé å ta utgangspunkt i at $\int_0^1 (f(t)-t)^2\, dt\ge 0 $
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4275
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Gammel IMC-ulikhet

Innlegg Markus » 05/01-2019 01:40

Her et utkast på hva jeg tenker, med forbehold. Jeg antar at $f$ er positiv, noe jeg ikke vet om vi kan gjøre. Man kan kanskje føre et bevis når $f$ er negativ (hvis den i det hele tatt er det) som går i samme gate, men det får jeg se på i morgen. Litt spent på tilbakemeldingen din ift. om dette funker. Motivasjonen bak å bruke Cauchy-Schwarz kom av at integranden var en funksjon opphøyd i andre.

Gitt at $f(t)$ er positiv på $[0,1]$, så vil $tf(t) \leq f(t)$ på $[0,1]$, så ved Cauchy-Schwarz' får vi at $$\left(\int_0^1 f^2(t) \, \text{d}t \right) \left( \int_0^1 t^2 \, \text{d}t \right) =\frac13 \left(\int_0^1 f^2(t) \, \text{d}t \right ) \geq \left(\int_0^1 tf(t) \, \text{d}t \right)^2 \geq \left(\int_0^1 f(t) \, \text{d}t \right)^2 \geq \left( \frac12 \right)^2$$ Der jeg brukte betingelsen i oppgaven i siste overgang. Herifra følger det at $\int_0^1 f^2(t) \, \text{d}t \geq \frac34$, som er et sterkere resultat enn det som skulle vises. Eventuelt har vi ved å integrere oppgavebetingelsen at $$\int_0^1 \int_x^1 f(t) \, \text{d}t \text{d}x = \int_x^1 \int_0^1 f(t) \, \text{d}x\text{d}t = \int_x^1 f(t) \, \text{d}t \geq \int_0^1 \frac{1-x^2}{2} \, \text{d}x = \frac{1}{3}$$ Og hvis vi bruker denne ulikheten i siste steg får vi samme ulikhet som oppgaven spør etter. Her har jeg jo vel egentlig også brukt Fubinis teorem (?) og med det antatt at $f$ er begrenset på $[0,1]$?
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 759
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Gammel IMC-ulikhet

Innlegg Gustav » 05/01-2019 04:52

Eventuelt har vi ved å integrere oppgavebetingelsen at $$\int_0^1 \int_x^1 f(t) \, \text{d}t \text{d}x = \int_x^1 \int_0^1 f(t) \, \text{d}x\text{d}t = \int_x^1 f(t) \, \text{d}t \geq \int_0^1 \frac{1-x^2}{2} \, \text{d}x = \frac{1}{3}$$ Og hvis vi bruker denne ulikheten i siste steg får vi samme ulikhet som oppgaven spør etter. Her har jeg jo vel egentlig også brukt Fubinis teorem (?) og med det antatt at $f$ er begrenset på $[0,1]$?


Problemet her er at du ikke kan bytte om integrasjonsrekkefølgen fordi den ene integrasjonsgrensa inneholder den ene integrasjonsvariabelen.

Markus skrev:Gitt at $f(t)$ er positiv på $[0,1]$, så vil $tf(t) \leq f(t)$ på $[0,1]$, så ved Cauchy-Schwarz' får vi at $$\left(\int_0^1 f^2(t) \, \text{d}t \right) \left( \int_0^1 t^2 \, \text{d}t \right) =\frac13 \left(\int_0^1 f^2(t) \, \text{d}t \right ) \geq \left(\int_0^1 tf(t) \, \text{d}t \right)^2 \geq \left(\int_0^1 f(t) \, \text{d}t \right)^2 \geq \left( \frac12 \right)^2$$ Der jeg brukte betingelsen i oppgaven i siste overgang. Herifra følger det at $\int_0^1 f^2(t) \, \text{d}t \geq \frac34$, som er et sterkere resultat enn det som skulle vises.


Tanken med å bruke Cauchy-Schwarz er veldig god og vil kunne føre frem, men siden $0\le t\le 1$ vil den andre ulikheten være motsatt vei. Du kan dog fikse beviset ved å bruke delvis integrasjon på $\int_0^1 tf(t)\,dt$, og i samme slengen droppe antagelsen om at $f$ er positiv.
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4275
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Gammel IMC-ulikhet

Innlegg Markus » 05/01-2019 15:35

Yes, ulikheten ble feil vei på slutten der ser jeg. Skrev jo til og med tidligere at $tf(t) \leq f(t)$ på $[0,1]$ hvis $f$ er positiv, så lurer på selv hvordan jeg plutselig fikk ulikheten andre veien :oops:

Prøver på nytt. Ved antagelsen i oppgaven følger det at $$\int_0^1 \int_x^1 f(t) \, \text{d}t \, \text{d}x \geq \int_0^1 \frac{1-x^2}{2} \, \text{d}x = \frac13$$ Delvis integrasjon med $u=x$ og $v=\int_1^x f(t) \, \text{d}t$ gir nå at $$\int_0^1 xf(x) \, \text{d}x = \left[x\int_1^x f(t) \, \text{d}t \right]_0^1 - \int_0^1 \int_1^x f(t) \, \text{d}t \, \text{d}x = \int_0^1 \int_x^1 f(t) \, \text{d}t \, \text{d}x \geq \frac13 $$
Og ved samme ulikhet som har vi da endelig at $$\int_0^1 f^2(t) \, \text{d}t \geq 3\left(\int_0^1 tf(t) \, \text{d}t \right)^2 \geq 3 \cdot \left(\frac13 \right)^2 = \frac13$$
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 759
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Gammel IMC-ulikhet

Innlegg Gustav » 06/01-2019 02:51

Fine greier!
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4275
Registrert: 12/12-2008 12:44

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 3 gjester