matematikk.net

Får ikke helt til denne elementære oppgaven om indreprodukt jeg.
Let u=(u1, u2, u3) og v=(v1, v2, v3). Determine which of the following inner products on R[sup]3[/sup]. For those who are not, list axioms that do not hold.

a) <u,v> = u1v1 + u3v3
b) <u,v> = u1[sup]2[/sup]*v1[sup]2[/sup] + u2[sup]2[/sup]*v2[sup]2[/sup]+u3[sup]2[/sup]*v3[sup]2[/sup]
c) <u,v> = 2u1*v1 + u2*v2 + 4u3*v3
d) <u,v> = u1v1 - u2v2 + u3v3

Takk.

Et indreprodukt på R^3 er en funksjon fra R^3 x R^3 ----> R som oppfyller følgende tre krav:

1) For alle v i R^3: <v,v> >=0 og <v,v>=0 hvis og bare hvis v=0.

2) For alle v, w i R^3: <v,w>=<w,v>

3) For alle u,v,w i R^3 og alle k1,k2 i R:
<k1u+k2v,w>=k1<u,w>+k2<v,w>

a) Det er lett å sjekke at 2) og 3) holder, men 1) holder ikke:
For eksempel ta v=(0,1,0). Da er <v,v>=0, men v er ikke nullvektoren.

b) Her holder 1) og 2).
1) holder fordi u1^4+u2^4+u3^4=0 hvis og bare hvis u1=u2=u3=0.

Men 3) holder ikke:

La for eksempel u=v=w=(1,0,0) og k1=k2=1.

da er <k1u+k2v,w>=<(2,0,0),(1,0,0)>=4,
men k1<u,w>+k2<v,w>=1+1=2

Skal komme tilbake til c) og d)

c) Her er det lett å sjekke at 1) og 2) er oppfylt. Nå sjekker vi 3)

La u=(u1,u2,u3), v=(v1,v2,v3) og w=(w1,w2,w3) i R^3 og k1, k2 i R

Da er <k1u+k2v,w>=2(k1u1+k2v1)w1+(k1u2+k2v2)w2+4(k1u3+k2v3)w3
=2k1u1w1+2k2v1w1+k1u2w2+k2v2w2+4k1u3w3+4k2v3w3
=k1(2u1w1+u2w2+4u3w3)+k2(2v1w1+v2w2+4v2w3)

=k1<u,w>+k2<v,w>

d) Her kan du sjekke at 2) og 3) er oppfylt (3) kan du sjekke på samme måte som i c)).
Men 1) er ikke oppfylt:

Ta for eksempel v=(0,1,0). Da er <v,v>=-1 som er mindre enn 0.

NB: I b) glemte jeg å skrive at <u,u> større eller lik 0 for alle u i R^3, siden u1^4+u2^4+u3^4 større eller lik 0.

Har nå vist: c) er indre produkt, a),b) og d) er ikke.

OK, dette skjønner jeg ikke i det hele tatt!
Skal man ikke bruke det definerte indreproduktet og vektorene u=(u1, u2, u3) og v=(v1, v2, v3), med bokstavene ikke tall?

Hvordan får du f.eks. u1[sup]4[/sup]?
Og i a), hvor bruker du indreproduktet som er gitt til den?

Ja, 1)-3) er definisjonen på et indreprodukt, så hvis du skal sjekke for eksempel om a) er et indreprodukt, så skal du sjekke om aksiomene 1)-3) holder for <u,v>=u1v1+u3v3, når u=(u1,u2,u3) i R^3 og v=(v1,v2,v3) i R^3.
Når du skal vise at et aksiom holder, skal du bruke bokstaver. Men hvis du ser at et aksiom ikke holder, da er det nok å gi et moteksempel, og da er det best å bruke tall.

Når du ser på aksiom 1) i b), så ser du på <u,u>, hvor u=(u1,u2,u3) i R^3.
Men definisjonen på <u,u> i b) er:

<u,u>=u1^2*u1^2+u2^2*u2^2+u3^2*u3^2=u1^4+u2^4+u3^4,
så derfor får jeg u1^4 osv.

Ok, takk skal du ha så langt, har vært til stor hjelp.

Kan jeg bare få se føringen på d)?

Her kan du sjekke at 2) og 3) er oppfylt (3) kan du sjekke på samme måte som i c)).
Men 1) er ikke oppfylt:

Ta for eksempel v=(0,1,0). Da er <v,v>=-1 som er mindre enn 0.

d) <u,v>=u1v1-u2v2+u3v3 for u=(u1,u2,u3), v=(v1,v2,v3) i R^3

2) Her må vi sjekke at <v,u>=<u,v> for alle u,v i R^3:

<v,u>=v1u1-v2u2+v3u3=u1v1-u2v2+u3v3=<u,v>

3) Vi må vise: <k1u+k2v,w>=k1<u,w>+k2<v,w> for alle u,v,w i R^3 og alle k1,k2 i R:

<k1u+k2v,w>=(k1u1+k2v1)w1-(k1u2+k2v2)w2+(k1u3+k2v3)w3
=k1u1w1+k2v1w1-k1u2w2-k2v2w2+k1u3w3+k2v3w3
=k1(u1w1-u2w2+u3w3)+k2(v1w1-v2w2+v3w3)
=k1<u,w>+k2<v,w>

Som sagt, 1) holder ikke, med v=(0,1,0) som moteksempel.