matematikk.net

Vi lar a være større enn b. Hvilket av disse utrykkene er da størst? fint om det kan forklarers. Kom fram til den første at man står igjen med kun (a+b)

(a^2-b^2)/(a-b) eller (a^2+b^2)/(a+b)

a og b må være naturlige tall, evt er brøkene ikke definert for mange verdier. hvis du lar a være feks 1 og b -1 i begge uttrykkene ,vil du ende opp med å dele på null på begge utrykkene, noe som er ulovlig

teller i første uttrykk er en differanse mellom to kvadrater og kan skrives som (a-b)(a+b)/(a-b). ved indirekte bevis kan man anta at det ene uttrykket er større enn det andre. Da har du a og b er naturlige tall og a>b deretter forkorter du uttrykket ovenfor med (a-b)

Begge uttrykkene kan deretter multipliseres med (a+b) for å fjerne nevner da står du igjen med (a+b)(a+b) på høyre siden og a^2+b^2 på venstre siden. Siden a>b så må a*b>0 og da også 2ab>0 altså (a^2-b^2)/(a-b) er størst. "Beviset" er ufullstendig derimot, men en kan evt løses slik

SHAROC wrote:a og b må være naturlige tall, evt er brøkene ikke definert for mange verdier. hvis du lar a være feks 1 og b -1 i begge uttrykkene ,vil du ende opp med å dele på null på begge utrykkene, noe som er ulovlig

Dette betyr ikke at vi kun tillater naturlige tall, bare at vi ikke tillater $a=b$ eller $a=-b$.

henry423 wrote:Vi lar a være større enn b. Hvilket av disse utrykkene er da størst? fint om det kan forklarers. Kom fram til den første at man står igjen med kun (a+b)

(a^2-b^2)/(a-b) eller (a^2+b^2)/(a+b)

Vi får litt forskjellige svar avhengig av hvilke $a$ og $b$ vi velger. Først observerer vi at vi ikke tillater $a=\pm b$. Vi bruker at $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ til å skrive differansen $\mathcal{D}$ mellom uttrykkene som
$$
\begin{align*}
\mathcal{D} & = \frac{a^2 - b^2}{a-b} - \frac{a^2 + b^2}{a+b} \\
& = \frac1{a^2-b^2}\left[(a^2-b^2)(a+b) - (a^2+b^2)(a-b)\right] \\
& = \frac1{a^2-b^2}\left[a^3 + a^2b - ab^2 - b^3 - a^3 + a^2b - ab^2 + b^3\right] \\
& = \frac{2a^b - 2ab^2}{a^2-b^2} \\
& = \frac{2ab(a-b)}{a^2-b^2} \\
& = \frac{2ab}{a+b}.
\end{align*}
$$
Nå, vi vet at
$$\frac{a^2-b^2}{a-b}\mbox{ er størst }\iff \mathcal{D}>0.$$
Vi observerer enkelt at $\mathcal{D}=0$ hvis og bare hvis $a=0$ eller $b=0$ (men ikke begge!), så dette er de eneste tilfellene hvor uttrykkene er like store. Ved å sammenlikne fortegnene til $a$, $b$ og $a+b$ i forskjellige tilfeller får vi at
$$\begin{align*}\mathcal{D} > 0 & \iff \left[a>b>0\right]\mbox{ eller }\left[a>0>b\mbox{ og }a<-b\right]\\
\mathcal{D} < 0 & \iff \left[0>a>b\right]\mbox{ eller }\left[a>0>b\mbox{ og } a>-b\right].\end{align*}$$