matematikk.net

greier ikke å derivere denne

f(x)= lnx + x/ lnx - x

svaret er 2lnx-2/(lnx-x)^2

s2matte wrote:greier ikke å derivere denne

f(x)= lnx + x/ lnx - x

svaret er 2lnx-2/(lnx-x)^2

Du er nødt til å inkludere parenteser i uttrykkene dine. f(x)= lnx + x/ lnx - x leses som $f(x) = \ln x + \frac{x}{\ln x} - x$, ikke som $\frac{\ln x + x}{\ln x - x}$, slik du mener. Skriv heller f(x) = (lnx + x)/(lnx - x).

Nå, om vi anvender brøkregelen, samt at $\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x} \ln x = \frac1x$, får vi at

$$\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\frac{\ln x + x}{\ln x - x} = \frac{(\frac1x + 1)(\ln x - x) - (\ln x + x)(\frac1x - 1)}{(\ln x - x)^2} = \frac{\frac{\ln x}x - 1 + \ln x - x - \frac{\ln x}x + \ln x - 1 + x}{(\ln x - x)^2} = \frac{2\ln x - 2}{(\ln x - x)^2},$$
som ønsket.