Mattegjest har allerede gitt et bra svar, der definisjonen på varians blir brukt. Det er imidlertid en veldig fin formel som du kommer til å ha glede av både for kontinuerlige og diskrete stokastiske variable, nemlig $$\text{Var}[X]=E[X^2]-E[X]^2$$ Siden $$E[X^2]=\sum_x x^2P(X=x) = 0^2\cdot 0.4 + 4^2 \cdot 0.1 + 10^2 \cdot 0.5=51.6$$ får vi da at $$\text{Var}[X]=E[X^2]-E[X]^2=51.6-5.4^2=22.44$$
Bevis for formelen i det diskrete tilfellet:
- [+] Skjult tekst
- Nå er $$\begin{alignat*}{2}
\text{Var}[X]&=E[(X-E[X])^2] = E[X^2-2XE[X]+E[X]^2] \\
&= \sum_x (x^2-2xE[X]+E[X]^2)P(X=x) \\
&= \sum_x x^2P(X=x) - 2E[X] \sum_x xP(X=x) + E[X]^2\sum_x P(X=x) \\
&= E[X^2] - 2E[X]^2+E[X]^2=E[X^2]-E[X]^2
\end{alignat*}$$Her har vi brukt det at summen av sannsynlighetene for alle utfallene for en stokastisk variabel er $1$ i siste overgang.