Forventning og varians

[kakedeig offline]

Med fare for å virke dum: Hvordan i alle dager regner man ut varians med følgende informasjon:
En tilfeldig variabel X kan ta verdiene 0, 4 og 10. Sannsynligheten er
P(X=0) = 40%
P(X=4)=10%
P(X=10) = 50%.
Forventningen til X er E[X]=5.4. Bestem variansen til X.
Fortell meg gjerne hvordan jeg kan regne ut dette på kalkulator også (texas ba ii).

[Mattegjest offline]

Var( X ) = P( X = 0 ) [tex]\cdot[/tex] (E( X ) - 0 )[tex]^{2}[/tex] + P( X = 4) [tex]\cdot[/tex]( E( X ) - 4 )[tex]^{2}[/tex] + P( X = 10 ) [tex]\cdot[/tex] ( E( X ) - 10 )[tex]^{2}[/tex]

[Markus]

Mattegjest har allerede gitt et bra svar, der definisjonen på varians blir brukt. Det er imidlertid en veldig fin formel som du kommer til å ha glede av både for kontinuerlige og diskrete stokastiske variable, nemlig $$\text{Var}[X]=E[X^2]-E[X]^2$$ Siden $$E[X^2]=\sum_x x^2P(X=x) = 0^2\cdot 0.4 + 4^2 \cdot 0.1 + 10^2 \cdot 0.5=51.6$$ får vi da at $$\text{Var}[X]=E[X^2]-E[X]^2=51.6-5.4^2=22.44$$

Bevis for formelen i det diskrete tilfellet:

[+] Skjult tekst

Nå er $$\begin{alignat*}{2}
\text{Var}[X]&=E[(X-E[X])^2] = E[X^2-2XE[X]+E[X]^2] \\
&= \sum_x (x^2-2xE[X]+E[X]^2)P(X=x) \\
&= \sum_x x^2P(X=x) - 2E[X] \sum_x xP(X=x) + E[X]^2\sum_x P(X=x) \\
&= E[X^2] - 2E[X]^2+E[X]^2=E[X^2]-E[X]^2
\end{alignat*}$$Her har vi brukt det at summen av sannsynlighetene for alle utfallene for en stokastisk variabel er $1$ i siste overgang.