matematikk.net

Hei! Jobber meg gjennom boka "flervariabel analyse med lineær algebra", og sitter litt fast på en oppgave.
Den lyder: "Regn ut volumet til området E når E er området over xy-planet og under grafen z=4-(x-2)^2-(y+1)^2".

Tidligere når det var en oppgave med samme ordlyd, så var det "området over" som ble integrasjonsgrensene, og det "under (z)" ble det man integrerte.. Men sitter litt fast her.

Ser at z i xy-planet i hvert fall blir en sirkel med sentrum i (2,-1), og radius = 2. Videre ser jeg at z selv er en paraboloid som åpner ned mot den negative z-aksen. og vet ellers at x og z > 0.

burde jeg prøve å regne et linjeintegral? Prøvde å gjøre det, da jeg brukte en parametrisering for sirkelen ned i xy-planet... men ble 0. Svaret skal være 8pi.

Takker for alle innspill som kan lede meg i riktig retning!

Vi kan sette opp et trippeltintegral: $$\begin{alignat*}{2}
\text{Volum}(E) &= \iiint_E 1 \, \text{d}x\text{dy}\text{d}z \\
&= \iint_S \left(\int_0^{4-(x-1)^2-(y+1)^2} 1 \, \text{d}z \right) \, \text{d}x\text{d}y = \iint_S (4-(x-1)^2-(y+1)^2) \, \text{d}x \text{d}y \end{alignat*}$$ der $S$ er området som $z=4-(x-1)^2+(y-1)^2$ prosjiserer ned i $xy$-planet, nemlig sirkelen som du selv nevner $S= \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: (x-2)^2+(y+1)^2=4\}$. Bytt nå til forskjøvete polarkoordinater, dvs. la $$x=r\cos(\theta)+1 \\ y = r\sin(\theta)-1$$ der $0\leq r \leq 2$ og $0 \leq \theta \leq 2\pi$. Jacobideterminanten blir det samme som med vanlige polarkoordinater: $\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)} = r$. Dermed får vi nå at $$\text{Volum}(E) = \int_0^2 \int_0^{2\pi} (4-r^2\cos^2(\theta)-r^2\sin^2(\theta))\left | \frac{\partial(x,y)}{\partial(r, \theta)} \right| \, \text{d}\theta\text{d}r$$ Klarer du resten selv nå?


Merk: Vi kan fint her også kunne satt opp et dobbeltintegral over det samme området, og akkurat fått samme integral som når vi satte opp trippelintegralet. Tolkningen av et dobbelintegral $\iint_S f(x,y) \, \text{d}x\text{d}y$ er at det er volumet under flaten $f(x,y)$ i området $S$ som integreres over. Vi kan også for så vidt sette opp et linjeintegral, hvis man absolutt vil men jeg ser ingen annen måte å gjøre det på enn å gå innom Greens teorem. F.eks kan vi la $\mathbf{F}(x,y)=P(x,y)\mathbf{\hat{i}} + Q(x,y)\mathbf{\hat{j}}=\left ( \frac13 y^3 + y^2 \right) \mathbf{\hat{i}} + \left (2x-\frac13x^3 +x^2 \right) \mathbf{\hat{j}}$. La $S$ være området beskrevet ovenfor og $\partial S$ være randen til $S$ (som blir en lukket kurve siden $S$ er en sirkel). Da sier Greens teorem oss at $$\iint_S \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, \text{d}x\text{d}y =\oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot \text{d}\mathbf{r}$$ Eller med andre ord at $$\iint_S \left(2-x^2+2x-y^2-2y \right) \, \text{d}x \text{d}y = \iint_S (4-(x-1)^2-(y+1)^2) \, \text{d}x \text{d}y = \oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$$ Dette linjeintegralet tror jeg fort kan bli veldig hårete og stygt riktignok.

Tuuusen takk for grundig og nøyaktig svar! Ble en del klarere nå. Skjønner ikke at jeg drev å knotet sånn.. Synes det er så vanskelig å skille mellom når jeg skal ta med kryssproduktet av de deriverte og ikke.

Men lurer litt på noe. Når du bytter til forskjøvete polarkoordinater, velger du +1 i x fordi sentrum i sirkelen er forskyvet en til høyre, og tilsvarende for y siden sentrum er forskjøvet en ned?

Gjest wrote:Tuuusen takk for grundig og nøyaktig svar! Ble en del klarere nå. Skjønner ikke at jeg drev å knotet sånn.. Synes det er så vanskelig å skille mellom når jeg skal ta med kryssproduktet av de deriverte og ikke.

Men lurer litt på noe. Når du bytter til forskjøvete polarkoordinater, velger du +1 i x fordi sentrum i sirkelen er forskyvet en til høyre, og tilsvarende for y siden sentrum er forskjøvet en ned?

Det stemmer! Det er godt mulig at man også kunne ha innført vanlige polarkoordinater $x=r\cos(\theta), y=r\sin(\theta)$, men da måtte man parametrisert området på en annen måte i forhold til intervallene til $r$ og $\theta$. Angående det du sier med at det er vanskelig å skille, så er det noe du finner ut av etter du har gjort en del oppgaver. Det er også veldig smart å bygge seg opp litt intuisjon - da blir det lettere å se hvilke metoder man skal anvende i hvilke tilfeller.