matematikk.net

Hei,

Ønsker å finne formelen for summen av følgende rekke:

[1,3,6,15,21,27...,An]

Har funnet ut at An kan eksplitt skrives som An = (n^2 + n) / 2

Så hvis jeg f.eks ønsket å finne ut av hva summen av de 5 første leddene vil være.

Vil det være det samme som integrere An fra 5 - 0 ?

Får ikke dette til å stemme, da An integert blir (1/6)n^3 + (1/4)n^2 . Men dette blir ikke 35 som summen skal være.

Kan dette løses ved integrasjon? Hvor tenker jeg feil?

Det er selvsagt [1,3,6,10,15,21,27...An] som er rekken.
Og An = (n^2 - n) / 2

An skal vel fortsatt være: n*(n+1)/2

Én måte å gå frem på er å betrakte Pascals trekant. Den tredje diagonalen fra venstre gir rekken 1,3,6,10,15,21,28 hvor det n-te keddet har formelen (n+1)*n/2. Dette er binomialkoeffisienten på n-te rekke, 2 plasser inn fra venstre når man teller fra null. Det er også formelen for summen av de n første naturlige tallene, eller det n-te "trekant-tallet". Summen av de n første trekanttallene finnes i diagonalen rett til høyre i rekken rett nedenfor. Formelen gis av binominalkoeffisienten på denne plassen.

Aha!
Ja, da ser jeg det. Men burde det ikke fungere å integrere n(n+1)/2 for å finne summen?
Jeg klarer ikke finne et uttrykk for An i rekka [1,4,10,20,35,56...,An] som da også blir det samme som Summen = Sn for rekka [1,3,6,10,15,21...]
Hvordan skal jeg tenke for å komme frem til formel her?
Kan du gi meg løsningen også.

(n+1)*n/2 er binomialkoeffisienten som gir summen av de n første tallene, det n´te trekanttallet.. Binomialkoeffisienten som ligger "sør-øst" for denne, gir deg summen av de n første trekanttallene: bin(n+2,3), dvs. (n+2)*(n+1)*n/3. Integrasjon forutsetter kontinuitet. I formelen (n+1)*n/2 løper n over de heletallene. Det gir en diskret funksjon.

Det skal stå 3!, og ikke 3 i nevneren ovenfor.

Ok, takk så mye!
Har missforstått integrasjon jeg da. Dette er tydeligvis ikke noe man kan løse ved integrasjon?

hei,

Bare glem det. Jeg tenkte at hvis du hadde en vilkårlig tallrekke som gikk fra A1 til An.
Så ville integralet av An fra n til 0 være det samme som summen av A1 til An.
Hvis det gir mening. Men ser jo at dette ikke stemmer for [1,2,3,4,5...An]
An = n . Integralet av dette er 1/2 n^2. Og hvis n=1 så får vi 0,5 og ikke 1..
Skjønner at jeg tenker helt feil nå Og at det er andeledes med rekker.
Dog hvis du vet tallrekkefølgen kan du bruke ett matematikk verktøy for å lage en formel
for summen av rekken? Som en funksjon av n. Når rekkene blir mer og mer komplisert er det meningen at man skal kunne regne ut dette for hånd? I så fall noe tips til tankegang og hvordan man kan trene for å løse dette?

Her pirker du bort i et stort matematisk spørsmål som går langt ut over mine kunnskaper. Det er de aller færreste tallrekker som kan komprimeres til enkle formler. Det finnes følgelig ikke noen generell metode for å finne slike funksjoner av n. Å avdekke slike funksjoner der de finnes, er en matematisk kunst.

Hehe, okey! Takk takk