matematikk.net

Jeg forsøker å løse [tex]2x^2+x-1\geq 0[/tex], som også kan uttrykkes som [tex]2(x^2 + \frac{1}{2}x-\frac{1}{2})[/tex].

Uttrykket [tex]x^2 + \frac{1}{2}x-\frac{1}{2}[/tex] har nullpunktene -1 og [tex]\frac{1}{2}[/tex], fant jeg ut i geogebra.

Jeg skjønner ikke sammenhengen med regelen [tex]x^2+bx+c=(x+d)(x+e)[/tex] når [tex]d+e =b[/tex] og [tex]d \cdot e = c[/tex]. Slik jeg forstår det skal altså førstegradskoeffisienten være summen og konstantleddet være produktet av de to tallene.

I hodet fant jeg nemlig frem til 1 og [tex]-\frac{1}{2}[/tex]. Summen av 1 (d) og [tex]-\frac{1}{2}[/tex] (e) er [tex]\frac{1}{2}[/tex], som er førstegradskoeffisienten. Produktet er [tex]-\frac{1}{2}[/tex], som er konstantleddet.
Da trodde jeg nullpunktene skulle være hhv. d og e

Hva er det jeg bommer på her?

Det du bommer på er at dersom $d, e$ er nullpunktene til funksjonen, så er faktoriseringa $ax^2 + bx + c = a(x-d)(x-e)$.

Du har brukt $a(x+d)(x+e)$.

En lett måte å gjenkjenne at det må være minustegn, er å se at i uttrykket $(x-d)(x-e)$, hvis du setter $x=d$, så blir den første parentesen 0, og videre blir hele uttrykket 0, så $d$ er et nullpunkt. Det samme kan sies om $x=e$.

Beklager, jeg hadde brukt (x−d)(x−e) i utregningen, så feilen er nok et annet sted.

Videre faktoriserte jeg det opprinnelige uttrykket til [tex]2(x-1)(x+\frac{1}{2})[/tex]. Når jeg tegner fortegnslinjene ser de slik ut:
Da får jeg svaret at [tex]2x^2+x-1\geq 0[/tex] når [tex]x\leq \frac{1}{2}[/tex] eller [tex]x\geq 1[/tex].

Riktig svar skal være at [tex]2x^2+x-1\geq 0[/tex] når [tex]x\leq -1[/tex] eller [tex]x\geq \frac{1}{2}[/tex].

Jeg tror feilen er at jeg har trodd at d og e er nullpunktene, mens det er -d og -e som er nullpunktene. Stemmer det?

Edit: Regnet gjennom en gang til, og fant feilen. Jeg hadde brukt [tex]x^2+bx+c=(x-d)(x-e)[/tex] i stedet for [tex]x^2+bx+c=(x+d)(x+e)[/tex]. Jeg blandet sammen "hoderegningsregelen" med nullpunktsregelen.

Ja, nullpunktene i (x+d)(x+e) er de x-verdiene som gjør uttrykket lik null, altså x=-d og x=-e.