Induksjon bevis

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Induksjon bevis

Innlegg matteem » 16/05-2019 12:56

Hei, jeg har litt problemer med denne oppgaven her:

Vis ved induksjon at

[tex]n^3-4n+6[/tex] er delelig med 3 for alle naturlige tall n[tex]\geq 0[/tex].

Jeg har satt inn (k+1) for n, men sliter med å gjøre om uttrykket slik at jeg kan bevise at det er delelig med 3. Har på forhånd sjekket for n=1, hvis man lurer på.Dette er hva jeg selv har gjort:

[tex](k+1)^3-4(k+1)+6[/tex]

[tex](k+1)((k+1)^2-4)+6[/tex]

[tex](k+1)(k-1)(k+3)+6[/tex]
matteem offline
Cayley
Cayley
Innlegg: 50
Registrert: 13/05-2017 23:48

Re: Induksjon bevis

Innlegg Aleks855 » 16/05-2019 13:15

Fra grunntilfellet vet du at $k^3 - 4k + 6$ er delelig på 3.

Så du skal vise at $(k+1)^3 - 4(k+1)+6$ er delelig på 3.

Hvis vi ganger det ut så får vi $k^3 + 3k^2 - k + 3 = \left[ k^3 - 4k + 6 \right] + \left[3k^2 + 3k - 3\right]$

Ser du hva vi kan gjøre herfra?
Bilde
Aleks855 offline
Rasch
Rasch
Innlegg: 5764
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Re: Induksjon bevis

Innlegg matteem » 16/05-2019 13:22

Aleks855 skrev:Fra grunntilfellet vet du at $k^3 - 4k + 6$ er delelig på 3.

Så du skal vise at $(k+1)^3 - 4(k+1)+6$ er delelig på 3.

Hvis vi ganger det ut så får vi $k^3 + 3k^2 - k + 3 = \left[ k^3 - 4k + 6 \right] + \left[3k^2 + 3k - 3\right]$

Ser du hva vi kan gjøre herfra?



Wow! Takk, kjapt svar, og ja, jeg ser hva som skal gjøres nå. Sliter VELDIG med induksjon, da det på en måte er en lek med tall, noe jeg ikke er flink til. Har du generelt noen tips for hvordan man skal gripe fatt i induksjonsoppgaver? Kom nettopp opp i R2 nemlig, og jeg vet det kommer minst en oppgave på eksamen. Vet det er litt stort og for generelt spørsmål, så du trenger ikke å svare på det. Tusen takk for hjelpen forresten.
matteem offline
Cayley
Cayley
Innlegg: 50
Registrert: 13/05-2017 23:48

Re: Induksjon bevis

Innlegg Aleks855 » 16/05-2019 13:36

Essensielt på dette nivået, så handler det bare om å ta $(k+1)$-uttrykket, og gjøre det om slik at det er $k$-uttrykket, pluss noe mer, og ut fra det, se om vi kan fullføre konklusjonen. $k$-uttrykket vet du allerede fungerer, og "pluss noe mer" må da passe sammen for å fullføre konklusjonen.

I dette tilfellet tok jeg bare $(k+1)$ uttrykket, som viste seg å være lik $k$-uttrykket, pluss noen ledd som alle hadde faktoren 3. Og fordi "hvis $a$ og $b$ er delelig på et tall, så er $a+b$ også delelig på det tallet", så konkluderer vi at begge de to klammene er delelig på 3.
Bilde
Aleks855 offline
Rasch
Rasch
Innlegg: 5764
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Re: Induksjon bevis

Innlegg matteem » 16/05-2019 13:43

Aleks855 skrev:Essensielt på dette nivået, så handler det bare om å ta $(k+1)$-uttrykket, og gjøre det om slik at det er $k$-uttrykket, pluss noe mer, og ut fra det, se om vi kan fullføre konklusjonen. $k$-uttrykket vet du allerede fungerer, og "pluss noe mer" må da passe sammen for å fullføre konklusjonen.

I dette tilfellet tok jeg bare $(k+1)$ uttrykket, som viste seg å være lik $k$-uttrykket, pluss noen ledd som alle hadde faktoren 3. Og fordi "hvis $a$ og $b$ er delelig på et tall, så er $a+b$ også delelig på det tallet", så konkluderer vi at begge de to klammene er delelig på 3.



Tusen takk, for en god forklaring. Setter veldig pris på hjelpen din! :D
matteem offline
Cayley
Cayley
Innlegg: 50
Registrert: 13/05-2017 23:48

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Google [Bot] og 20 gjester