Derivasjon av tan(x)

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Derivasjon av tan(x)

Innlegg Chriskax » 16/05-2019 15:09

Har fått oppgitt en oppgave(se vedlegg). Kan noen forklare fremgangsmåten for følgende løsning?
d/dx (tanx) = 1+(tanx)^2

(Vet fra før at: d/dx (tanx) = 1/(cosx)^2)

På forhånd, takk!
Vedlegg
tanx.PNG
Oppgaven som skal løses
tanx.PNG (19.76 KiB) Vist 238 ganger
Chriskax offline
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 1
Registrert: 10/05-2019 16:59

Re: Derivasjon av tan(x)

Innlegg Kay » 16/05-2019 20:59

Chriskax skrev:Har fått oppgitt en oppgave(se vedlegg). Kan noen forklare fremgangsmåten for følgende løsning?
d/dx (tanx) = 1+(tanx)^2

(Vet fra før at: d/dx (tanx) = 1/(cosx)^2)

På forhånd, takk!


[tex]\frac{d}{dx}\tan(x)=\frac{d}{dx}\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=\frac{\sin(x)'\cos(x)-\sin(x)\cos(x)'}{cos^2(x)}=\frac{1}{\cos^2(x)}=\sec^2(x)[/tex]

Betrakt så [tex]\sec^2(x)-\tan^2(x)[/tex]

Vi kan se at det er det samme som å si at [tex]\frac{1}{\cos^2(x)}-\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=\frac{1-\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=\frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)}=1[/tex] ergo kan vi se at [tex]\sec^2(x)-\tan^2(x)=1\Leftrightarrow \sec^2(x)=1+\tan^2(x)[/tex]

Som fra første linje da er det samme som at [tex]\frac{d}{dx}\tan(x)=1+\tan^2(x)[/tex]
[tex]e=\pi=3[/tex]
Kay offline
von Neumann
von Neumann
Innlegg: 547
Registrert: 13/06-2016 18:23

Re: Derivasjon av tan(x)

Innlegg zell » 18/05-2019 11:44

[tex]\tan{x} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}}[/tex]

[tex]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\tan{x}) = \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sin{x})\cos{x}-\sin{x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\cos{x})}{\cos^2{x}} = \frac{\cos^2{x}-\sin{x}(-\sin{x})}{\cos^2{x}} = \frac{\cos^2{x}}{\cos^2{x}}+\left(\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\right)^2 = 1+\tan^2{x}[/tex]
zell offline
Guru
Guru
Innlegg: 1768
Registrert: 09/02-2007 15:46
Bosted: Trondheim

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 16 gjester