matematikk.net

1)Let p[sub]2[/sub] be the inner product <p,q> = a[sub]0[/sub]b[sub]0[/sub] + a[sub]1[/sub]b[sub]1[/sub] + a[sub]2[/sub]b[sub]2[/sub], find d(p,q).
p = 3-x+x[sup]2[/sup] og q=2+5x[sup]2[/sup]

d(u,v) = ||u-v|| = <u-v, u-v>[sup]1/2[/sup] = [(u-v)*(u-v)][sup]1/2[/sup]
Ja, lenger kommer jeg ikke. Jeg skjønner ikke de her indreproduktgreiene.

2) Let V be an inner product space. Show that if u and v har orthogonal unit vectors in V, then ||u-v|| = [rot][/rot]2

1) Her går jeg ut fra at

p(x) = a[sub]0[/sub] + a[sub]1[/sub]x + a[sub]2[/sub]x[sup]2[/sup],

q(x) = b[sub]0[/sub] + b[sub]1[/sub]x + b[sub]2[/sub]x[sup]2[/sup].

Dermed blir

d(p,q)
= ║p - q║
= ║(3 - x + x[sup]2[/sup]) - (2 + 5x[sup]2[/sup])║
= ║3 - x + x[sup]2[/sup] - 2 - 5x[sup]2[/sup]║
= ║1 - x - 4x[sup]2[/sup]║
= <1 - x - 4x[sup]2[/sup], 1 - x - 4x[sup]2[/sup]>[sup]1/2[/sup]
= kv.rot( 1[sup]2[/sup] + (-1)[sup]2[/sup] + (-4)[sup]2[/sup] )
= kv.rot( 1 + 1 + 16 )
= kv.rot(18)
= 3[rot][/rot]2.


2) Anta at u og v er ortogonale enhetsvektorer i indreproduktrommet V. M.a.o. er <u,v>=0 og ║u║ = ║v║ = 1. Dermed blir

║u - v║[sup]2[/sup] = <u - v,u - v> = <u,u> - 2<u,v> + <v,v> = ║u║[sup]2[/sup] - 2<u,v> + ║v║[sup]2[/sup]
= 1[sup]2[/sup] - 2*0 + 1[sup]2[/sup] = 2.

Herav følger at ║u - v║ = [rot][/rot]2.