matematikk.net

Vektor oppgave.
Jeg skal finne likningen for planet gitt punktene A(1,2,2) B(2,1,3) og C(3,1,1)

Noen jeg ikke skjønner er, hvorfor går ikke min utregning? Finner AB vektor som er 1,-1,1. Derretter vet jeg at normal vektoren i planet skal ganget med AB(vektor) bli 0. slik at normal vektor er (1,2,1) Hvorfor går ikke dette?

Det du gjør galt er at du neglisjerer punkt [tex]C[/tex]. Ved hjelp av tre punkter kan du danne deg to vektorer og en normalvektor til de to vektorene ved hjelp av kryssproduktet.

Vi har [tex]A=(1,2,2)[/tex], [tex]B=(2,1,3)[/tex] og [tex]C=(3,1,1)[/tex]

Da har vi at [tex]\vec{AB}=[1,-1,1][/tex] og [tex]\vec{AC}=[2,-1,-1][/tex]

En normal vektor vil da være [tex]\vec{AB}\times \vec{AC}=\begin{vmatrix} i &j &k \\ 1 &-1 &1 \\ 2 &-1 &-1 \end{vmatrix}=i\begin{vmatrix} -1 &1 \\ -1&-1 \end{vmatrix}-j\begin{vmatrix} 1 &1 \\ 2&-1 \end{vmatrix}+k\begin{vmatrix} 1 &-1 \\ 2 &-1 \end{vmatrix}=2i+3j+k=[2,3,1]=\vec{n}[/tex]

Nå har vi en normalvektor på formen [tex]\vec{n}=[a,b,c]=[2,3,1][/tex] og et punkt [tex]P_0[/tex] lik en av de opprinnelige punktene og samtidig et vilkårlig punkt [tex]P=(x,y,z)[/tex]. Det punktet ligger på planet hvis og bare hvis [tex]\vec{n}\perp \vec{P_0P}[/tex], dvs. [tex]\vec{n}\cdot\vec{P_0P}=0[/tex] og dermed [tex][a,b,c]\cdot[x-x_0,y-y_0,z-z_0]=a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0[/tex]. Tar utgangspunkt i punktet [tex]A=P_0[/tex] og får [tex]2(x-1)+3(y-2)+(z-2)=0[/tex]. Merk at du kan bruke både [tex]A[/tex], [tex]B[/tex] eller [tex]C[/tex] vilkårlig som [tex]P_0[/tex] da du uansett vil få samme planet som resultat.