matematikk.net

Hei!

Står fast i denne oppgaven,trenger hjelp.

f(x,y)=x^3+6y^2-12xy+9x+3

a)Bestem stasjonære punkter og klassifiser dem

b)vis at punktet (2,3)ligger på nivåkurven z=11

c)maksimaliser f under bibetingelsen x+y=5

a: Stasjonære punkt er der begge de partielle deriverte er null.

df/dx = 3x^2 -12y +9 = 0
df/dy = 12y -12x = 0

Den siste likningen gir at x=y
Får da 2gradslikning i a.

b: For å klassifisere den så må du finne egenverdiene til den Hessiskematrisa. Sjekk i boka for nærmere detaljer.

c: Her er det enklest og bruke lagrange:

kaller bibetingelsen g:

Lagrange gir da at maks/min er der:

grad(f) - λ*grad(g) = 0

Denne vektorlikningen pluss bibetingelsen b gir deg nok likninger til å bestemme de ukjente. λ kalles lagrangemultiplikator.

Det blir ganske mykje algebra på alle 3 delspm, men det er bare å fortsette, og ev spørre viss det er noe du ikke forstår

Takk for hjelpen. Skjønte hvordan du kom fram til de stasjonære punktene
.Har sett i boka ang. Hesse-matrisen, skjønner ikke helt hvordan man setter inn verdiene. Står litt fast enda.

Den Hessiske matrisa består av de andre ordens deriverte. (Se i boka for hvordan den er sammenstatt). Når du har funnet et stasjonært pkt setter du disse verdiene for x og y inn i matrisa.

I ditt eksempel blir matrisa:

6x , -12
-12, 6y

Så setter du inn verdiene til stasjonære pkt (1,1) (3,3)
(1,1) blir:

6, -12
-12 , 6

Kaller denne Matrisa A
Egenverdiene er de verdier oppfyller denne likningen: A-λI = 0
Der I er identitetsmatrisa.

Altså: Determinanten til:

6-λ, -12
-12, 6-λ
må være null.

(6-λ) = +/- 12

λ = -6, λ = 12

Ser at egenverdiene har ulikt fortegn, ergo er (1,1) et sadelpkt.

Nå skjønner jeg det, tusen takk for hjelpen!