matematikk.net

Hei!
Har to oppgåver frå Sigma R2 2015.

Fasit svar i oppgåve 2.43 er
a)4/3ItI
b) t = 0
c)+- 3/4

Fasit svar 2.44
V = 240

Sjå løysingane mine nedanfor.
Trur eg har løyst oppgåvene riktig, men er usikker på
om det går å løyse dei slik eg har gjort og har gjort feil
når eg ikkje får fasit svar i oppgåve 2.43.

Oppgåve 2.43
I pyramiden ABCP er A (2, 0, 0), B (0, 2, 0) og C (0, 0, 4). Toppunktet P ligg på linja
r ⃗(t) = [t, t, 2t] gir eit parallellepiped.

a) Finn volumet V(t).

(AB) ⃗ = [0 - 2, 2 - 0, 0 - 0] = [- 2, 2, 0]
(AC) ⃗ = [0 - 2, 0 - 0, 4 - 0] = [- 2, 0, 4]

Vi finn vektorproduktet (AB) ⃗ x (AC) ⃗ = [- 2, 2, 0] x [- 2, 0, 4]

(_- 2^(- 2)) _( 0)^( 2) 〖⤨ 〗_( 4 )^( 0) 〖⤨ 〗_( - 2)^( - 2) 〖⤨ 〗_( 0)^( 2) 〖 〗_( 4)^( 0)

[((2) · (4)) – ((0) · (0)), ((0) · (- 2)) – ((4) · (- 2)), ((- 2) · (0)) – ((- 2) · (2))]
= [(8 - 0), (0 + 8),(0 + 4)] = [8, 8, 4].

Volumformelen for ein trekanta pyramide gir så

V_P = 1/6 |((AB) ⃗ x (AC) ⃗ ) · r ⃗(t) | = 1/6 |[8,8,4] · [t,t,2t]|
= 1/6 · | (8·(t)+8·t+4·2t) |= 1/6 |(8t+8t+8t)| = 1/6 · |24t| = 24/6 · |t| = 4|t|

b) Kva er t når volumet er lik null?

1/6 · |24t| = 0
4t = ± 0
t = 0

c) Løys likninga V(t) = 16.

1/6 · |24t| = 16 │· 6
|24t| = 96
t = ± 96/24
t = ± 4


Utfordring 2.44
Eit parallellepiped er forma av vektorane p ⃗, q ⃗ og r ⃗ med lengdene 10, 6 og 8. Grunnflata er eit rektangel. Vinkelen mellom vektoren r ⃗ og normalen på grunnflata er 60°. Finn volumet av parallellepipedet.

V = 10 · 6 · (8 · cos 60°) = 60 · (8 · 1/2) = 60 · 4 = 240

Er du sikker på at du har skrevet av oppgaven korrekt? Det er litt merkelig at du får fasitvaret, når du anvender feil formel for volumet. Vektorproduktet skal ikke skalarproduseres med $\vec{r(t)}$, men med $\vec {AT}$.

Hei!
Det er skrevet riktig i oppgåve teksta i begge oppgåvene:
NB! Eg fikk ikkje rett svar i oppgåve 2.43
Fikk rett svar i 2.44

Beklager det skal berre stå følgane 2.43

I pyramiden ABCP er A (2, 0, 0), B (0, 2, 0) og C (0, 0, 4). Toppunktet P ligg på linja
r ⃗(t) = [t, t, 2t].

NB! Det skal ikkje stå: gir eit parallellepiped etter r ⃗(t) = [t, t, 2t].

Hei,

Se melding fra josi. Det er [tex]\vec{AP}[/tex] som skal brukes i volumformelen.

Ut fra dine opplysninger:

A(2,0,0)
B(0,2,0)
C(0,0,4)
P(t,t,2t)

[tex]\vec{AB}=(-2,2,0)[/tex]
[tex]\vec{AC}=(-2,0,4)[/tex]
[tex]\vec{AP}=(t-2,t,2t)[/tex]

[tex]V(t)=\frac{1}{6}\begin{vmatrix} (\vec{AB}\bigotimes \vec{AC})\vec{AP} \end{vmatrix}[/tex]

Da får du til resten selv!

Takk for hjelp

Løysinga vart då slik:

a) Finn volumet V(t).

(AB) ⃗ = [0 - 2, 2 - 0, 0 - 0] = [- 2, 2, 0]
(AC) ⃗ = [0 - 2, 0 - 0, 4 - 0] = [- 2, 0, 4]

Vi finn vektorproduktet (AB) ⃗ x (AC) ⃗ = [- 2, 2, 0] x [- 2, 0, 4]

(_- 2^(- 2)) _( 0)^( 2) 〖⤨ 〗_( 4 )^( 0) 〖⤨ 〗_( - 2)^( - 2) 〖⤨ 〗_( 0)^( 2) 〖 〗_( 4)^( 0)

[((2) · (4)) – ((0) · (0)), ((0) · (- 2)) – ((4) · (- 2)), ((- 2) · (0)) – ((- 2) · (2))]
= [(8 - 0), (0 + 8),(0 + 4)] = [8, 8, 4].

Punktet P ligg på linja

(AP) ⃗ = [t - 2, t - 0, 2t - 0] = [t - 2, t, 2t]

Volumformelen for ein trekanta pyramide gir så

V_P = 1/6 |((AB) ⃗ x (AC) ⃗ ) · r ⃗(t) | = 1/6 |[8,8,4] · [t-2,t,2t]|
= 1/6 · | (8·(t-2)+8·t+4·2t) |= 1/3 |(8t-16+8t+8t)|
= 1/6 · |24t-16| = 1/6 · 8 |3t-2| = 8/6 |3t-2| = 8/6 |3t-2| = 4/3 |3t-2|

b) Kva er t når volumet er lik null?

4/3 |3t-2| = 0 ⇒ |3t| – 2 = 0 ⇒ |3t| = 2 ⇒ t = 2/3

r ⃗(t) = [t, t, 2t]

Koordinatane r ⃗ ( 2/3)

r ⃗ ( 2/3) = [2/3,2/3,2 · 2/3] = [2/3,2/3,4/3]

(n_α ) ⃗ = [8, 8, 4] : 4 ⇒ (n_α ) ⃗ = [2, 2, 1]

V (2/3) = 0

2(2/3 -2) + 2(2/3) + 1(4/3) = 4/3 -12/3 + 4/3 + 4/3 = 12/3-12/3 = 0

Når t = 2/3 blir V (2/3) = 0 og punktet (2/3,2/3,4/3) ligg då i planet α

c) Løys likninga V(t) = 16.

4/3 |3t-2| = 16 │· 3
4|3t-2| = 48
|12t| - 12 = 48 : 12
|t| = 4 + 1
t = ±5

Hei,

På a) regnes det slik:

[tex]\begin{vmatrix} 3t-2 \end{vmatrix}=0[/tex]
[tex]\begin{matrix} 3t-2=0\\t=\frac{2}{3} \end{matrix}[/tex]

Og på b):

[tex]\frac{1}{6}\begin{vmatrix}24t-16 \end{vmatrix}=16[/tex]
[tex]\begin{vmatrix} 24t-16 \end{vmatrix}=96[/tex]

[tex]\begin{matrix} 24t-16=96\\24t=112 \\t= \frac{14}{3} \end{matrix}[/tex]
[tex]\begin{matrix} \vee \\24t-16=-96 \\24t=-80 \\t= \frac{-10}{3} \end{matrix}[/tex]

Det å kunne bruke dette forumet når ein treng hjelp
er heilt avgjerande for å kunne drive med sjølv studium.

Tusen Takk for god hjelp

geil wrote:Det å kunne bruke dette forumet når ein treng hjelp
er heilt avgjerande for å kunne drive med sjølv studium.

Tusen Takk for god hjelp

Bare hyggelig å kunne hjelpe.
Du gjør jo iherdige forsøk selv også, før du ber om hjelp. Bra!