Oppgave 6.153 Sinus R2

[JulieH01]

Står fast på denne oppgaven:

integralet av sinx*cosx dx

[DennisChristensen]

Står fast på denne oppgaven:

integralet av sinx*cosx dx

Bruk substitusjon. La $u=\sin x$. Kommer du i mål?

[JulieH01]

Står fast på denne oppgaven:

integralet av sinx*cosx dx

Bruk substitusjon. La $u=\sin x$. Kommer du i mål?

Jeg får ikke helt riktig svar. Har du en framgangsmåte?

[Kristian Saug]

Hei,

Ved substitusjon (som Dennis sier):

$\int (sinx\ast cosx)dx$

setter
$\begin{array}{c}sinx=u\\ cosxdx=du\end{array}$
$dx=\frac{du}{cosx}$

og vi får

$\int ucosx\frac{du}{cosx}=\int udu=\frac{1}{2}{u}^2+C=\frac{1}{2}si{n}^{2}x+C$


Alternativt ved delvis integrasjon:

$\int (sinx\ast cosx)dx=sinx\ast sinx-\int (cosx\ast sinx)dx$
$2\int (sinx\ast cosx)dx=si{n}^{2}x+C_1$
$\int (sinx\ast cosx)dx=\frac{1}{2}si{n}^{2}x+C$

[JulieH01]

Takk skal du ha!

[mattegjest]

Alternativ løysing: Kjerneregelen baklengs !

$\int sinxcosxdx$ = $\int sinx\cdot (sinx{)}^{\prime }dx$ ( kjerneregelen baklengs )= $\frac{1}{2}$ sin${}^2$x + C

[JulieH01]

Hvordan blir det når man skal integrere (sinx)^2? Kan man bruke substitusjon her også?

[Mattebruker]

Her må du velje ein annan metode , eks. delvis integrasjon. Men det greiaste vil vere å innføre cosinus til den dobble vinkelen:
( * ) cos(2x) = 1 - 2 sin${}^2$x

Framgangsmåte:

Snu på formelen ( * ) slik at du får sin${}^2$x åleine på V. S. Deretter: Integrer H.S. ledd for ledd.

[Kristian Saug]

Ja,


$\int (sinx\ast sinx)dx=sinx\ast (-cosx)-\int (cosx\ast (-cosx)dx=-sinx\ast cosx+\int (cosx\ast cosx)dx$

Så må du gjøre delvis integrasjon på $\int (cosx\ast cosx)dx$ og du kommer i mål (se på eksempelet mitt i forrige innlegg)

Nå blir jeg borte en stund og ikke tilgjengelig for hjelp på noen timer.

[Mattebruker]

Hint ( jamfør delvis løysing v/ K. Saug ) : $\int$ cosx$\cdot$cosx dx = $\int$cos${}^{2}xdx$ = $\int$( 1 - sin${}^2$x ) dx

[Kristian Saug]

Viser komplett utregning ved delvis integrasjon, med innspillet fra Mattegjest.

$\int (sinx\ast sinx)dx=sinx\ast (-cosx)-\int (cosx\ast (-cosx)dx=-sinx\ast cosx+\int (cosx\ast cosx)dx$ =

$-sinx\ast cosx+\int (1-si{n}^{2}x)dx=-sinx\ast cosx+x-\int (si{n}^{2}x)dx$

og vi får

$2\int (si{n}^{2}x)dx=x-sinx\ast cosx+C_1$

$\int (si{n}^{2}x)dx=\frac{1}{2}(x-sinx\ast cosx)+C$


Med $cos(2x)=1-2si{n}^{2}x$

$\int (si{n}^{2}x)dx=\frac{1}{2}\int (1-cos(2x))dx=\frac{1}{2}(x-\frac{1}{2}sin(2x))+C=$
$\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}sin(2x)+C$

(hvilket er det samme som løsningen vist ved delvis integrasjon)