matematikk.net

Hei!
Har eit problem får ikkje same volumet når eg løyser denne oppgåven.
Når eg løyser med V_P = 1/6 · |(AB) ⃗ x (AC) ⃗ · r ⃗ | får eg sjå løysing nedanfor.

Når eg finn G og h og brukar formelen V = 1/3 · G · h får eg sjå løysing nedanfor.

NB! Kan r ⃗ = [ - 2 + 2t, t, - 2t] vere feil. Skal det kanskje stå [- 7 + 2t, t, - 2t) då vil ein få likt areal
med begge metodane?

Kan nokon hjelpe meg her




Oppgåve 2.55
I pyramiden ABCT er A (5, 0, 0), B (0, 5, 0) og C (0, 0, 5). Toppunktet T ligg på den rette linja r ⃗ = [ - 2 + 2t, t, - 2t].

d) Finn volumet av pyramiden.

(n_α ) ⃗ = (AB) ⃗ x (AC) ⃗ = [25, 25, 25].
(v_l ) ⃗ ⃗ = [-2 + 2t, t, - 2t].

V_P = 1/6 · |(AB) ⃗ x (AC) ⃗ · r ⃗ | = 1/6 · |[25,25,25] · [ -2+2t,t,- 2t]|
= 1/6 · (25 ·(-2+2t)+25 ·t+25 ·(-2t)
= 1/6 · (- 50+50t+25t-50t) = 1/6 · (25t-50)
= 25/6 · (t-2)

Arealet av trekanten G = 1/2 · |(AB) ⃗ x (AC) ⃗ |

G = 1/2 · |[25,25,25]| = 1/2 · √(25^2+25^2+ 25^2 ) = 1/2 · √(625+625+ 625)
= 1/2 · √1875 = 1/2 · √3 · √625 = 1/2 · 25 · √3 = 25/2 · √3

Avstanden h (t) frå T til planet α. Punktet T har koordinatane til linja l
T ( - 2 + 2t, t, - 2t)

Avstanden frå T til α er:
α: x + y + z – 5 = 0
α: ax_1 + by_1 + cz_1 + d = 0
q = |ax_1 + ay_1 + az_1 + d |/(√(a^2 + b^2 + c^2 ) )
(n_α ) ⃗ = [a, b, c] = [1, 1, 1]
T (x_t, y_t, z_t) = [(- 2 + 2t, t , – 2t]

Avstandsformelen gir

h = q = |1 · (-2 + 2t)+ 1 · (t)+ 1 · (-2t)- 5|/(√(〖(1)〗^2 + 〖(1)〗^2 + 〖(1)〗^2 ) ) = (|- 2 + 2t + t -2t - 5| )/√(1 + 1 + 1 )
= |2t + t-2t -2 -5|/√3 = (|t – 7| )/√3 = (|t – 7| · √3 )/(√3 · √3 ) = (|t – 7| )/3 √3
Volumet V (t) av pyramiden ABCT

For ei pyramide har vi V = 1/3 · G · h. Vi set inn og får

V = 1/3 · G · h = 1/3 · 25/2 · √3 · (|t – 7| )/3 √3 = 1/3 · 25/2 · √3 · √3 · (|t – 7| )/3
= 1/3 · 25/2 · 3 · (|t – 7| )/3 = 25/6 · |t – 7|

Hei,

Ja, det skal stå [tex](-7+2t, t, -2t)[/tex], fordi dette er [tex]\overrightarrow{AT}[/tex]

[tex]V(t)=\frac{1}{6}\begin{vmatrix} (\overrightarrow{AB}\bigotimes \overrightarrow{AC})\overrightarrow{AT} \end{vmatrix}[/tex]

Riktig svar er

[tex]V(t)=\frac{25}{6}\begin{vmatrix} t-7 \end{vmatrix}[/tex]

Hei!
Då forstår eg det slik:
Finn vektoren (AT) ⃗ og brukar formelen for volumet V_P = 1/6 · |(AB) ⃗ x (AC) ⃗ · (AT) ⃗ |
Sjå løysing nedanfor

Finn volumet av pyramiden.

r ⃗ = [ - 2 + 2t, t, - 2t]
A (5, 0, 0)
(n_α ) ⃗ = (AB) ⃗ x (AC) ⃗ = [25, 25, 25].
(AT) ⃗ = [- 2 + 2t - 5, t - 0, - 2t - 0] = [ - 7, t, - 2t]

V_P = 1/6 · |(AB) ⃗ x (AC) ⃗ · (AT) ⃗ | = 1/6 · |[25,25,25] · [ -7+2t,t,- 2t]|
= 1/6 · (25 ·(-7+2t)+25 ·t+25 ·(-2t)
= 1/6 · (- 175+50t+25t-50t) = 1/6 · (25t-175)
= 25/6 · (t-7)

Korrekt!

Men skriv [tex]V(t)[/tex], siden volumet er en funksjon av [tex]t[/tex].

Og husk absolutt-tegnet, [tex]\begin{vmatrix} t-7 \end{vmatrix}[/tex]. Det er noe annet enn [tex](t-7)[/tex],
siden volumet alltid har en positiv verdi.

Tusen Takk for tipsa
Har notert dette med absoluttverdien og retta opp i oppgåva.

Hei:) noen her som har tatt prøve i kapitlet 6 om vektorregning (fra Sinus boka)? Kan dere evt. Legge ut prøven deres? Har gjort kontrolloppgaven til kapitlet og noen eksamensoppgaver, men jeg vil Prøve meg på en vanlig prøve og ikke terminprøve om det gir mening.
Takk på forhånd:)