matematikk.net

Use mathematical induction to show that:

e[sup]x[/sup] > 1 + x + x[sup]2[/sup]/2! + .. + x[sup]n[/sup]/n!

Vet at det på høyresiden er Taylorpolynomet, og at det ikke helt 100% rett, man må ha med en korreksjon, men hvordan skal jeg vise det?

Du skal vha. av induksjon vise at

(1) e[sup]x[/sup] > 1 + x + x[sup]2[/sup]/2! + .. + x[sup]n[/sup]/n!

for alle n,x > 0. (Her må x > 0. F.eks. stemmer ikke (1) når n=2 og x <= 0)

Basis for induksjonen: La f(x) = e[sup]x[/sup] - x - 1. Dermed blir f'(x) = e[sup]x[/sup] - 1. Så f'(x) > 0 når x > 0. Ergo er f(x) > f(0) = 0 når x > 0. M.a.o. stemmer ulikheten (1) for n=1.

Induksjonstrinnet: Anta at (1) er sann for n=k. Altså er

e[sup]t[/sup] > 1 + t + t[sup]2[/sup]/2! + .. + t[sup]k[/sup]/k!

for alle t > 0. Siden e[sup]t[/sup] og 1 + t + t[sup]2[/sup]/2! + .. + t[sup]k[/sup]/k! begge er kontinuelige funksjoner, blir

[itgl][/itgl] e[sup]t[/sup] dt (t=0->x) > [itgl][/itgl] 1 + t + t[sup]2[/sup]/2! + .. + t[sup]k[/sup]/k! dt (t=0->x)

for alle x>0. Dette medfører at

[e[sup]t[/sup]] (t=0->x) > [t + t[sup]2[/sup]/2! + .. + t[sup]k+1[/sup]/(k+1)!] (t=0->x)

e[sup]x[/sup] - e[sup]0[/sup] > x + x[sup]2[/sup]/2! + .. + x[sup]k+1[/sup]/(k+1)!

e[sup]x[/sup] > 1 + x + x[sup]2[/sup]/2! + .. + x[sup]k+1[/sup]/(k+1)!

Så ulikheten (1) er sann for n=k+1.

Wow, lekkert!