matematikk.net

Hei!
Har ei oppgåve som eg ikkje klarer å løyse.
Hadde vore fint om nokon kunne hjelpe meg.
Eg har prøvd meg på oppgåva og trur eg har løyst a) riktig, men får ikkje til
b) sjå oppgåva nedafor og min løysing.
R 2. Oppgåve A 2.116 Sigma 2015,
Prøver igjen med meir informasjon

Vi har gitt eit tetraeder, ABCD. (DA) ⃗ = a ⃗, (DB) ⃗ = b ⃗ og (DC) ⃗ = c ⃗, slik at

∠ (a ⃗, b ⃗) = ∠ (b ⃗, c ⃗) = ∠ (a ⃗, c ⃗) = 60°

La |a ⃗ | = |b ⃗ | = |c ⃗ |

a) Vis at (AB) ⃗ ⏊ (DC) ⃗.

(AB) ⃗ = (AD) ⃗ + (DB) ⃗ = - a ⃗ + b ⃗

(AB) ⃗ ⏊ (DC) ⃗ ⇒ (AB) ⃗ · (DC) ⃗ = 0

(AB) ⃗ · (DC) ⃗ = (-a ⃗+ b ⃗ ) · c ⃗ = 0

b) La medianane i ABD skjere kvarandre i T. Vis at (CT) ⃗ står vinkelrett på
sideflata ABD.

Setninga om medianane i ein trekant. Dei tre medianane i ein trekant skjer
kvarandre i eitt punkt. Dette skjeringspunktet deler medianane i forholdet
2:1. Dette punktet kallast trekanten sitt tyngdepunkt.

(BC) ⃗ = (BD) ⃗ + (DC) ⃗ = - b ⃗ + c ⃗ +

(AC) ⃗ = (AB) ⃗ + (BC) ⃗ = - a ⃗ + b ⃗ - b ⃗ + c ⃗ = - a ⃗ + c ⃗

(CT) ⃗ = (CD) ⃗ + (DT) ⃗ = - c ⃗ + 1/3 ( a ⃗+b ⃗ )



(DS) ⃗ = (DA) ⃗ + 1/2 (AB) ⃗ = a ⃗ + 1/2 (-a ⃗+ b ⃗ ) = 2/2 a ⃗ - 1/2 a ⃗ +1/2 b ⃗
= 1/2 a ⃗ + 1/2 b ⃗

(DT) ⃗ = 2/3 (DS) ⃗ ⇒ 2/3 · (1/2 a ⃗+1/2 b ⃗ ) = 1/3 a ⃗ + 1/3 b ⃗
= 1/3 ( a ⃗+b ⃗ )

Korleis kan eg vise at (CT) ⃗ står vinkelrett på
sideflata ABD. nokon som kan hjelpe meg her!

Dann vektoren $\vec{CT}$. Hvis $\vec{CT}$ står normalt på sideflaten $ABD$, må den stå normalt på alle ikke-parallelle vektorer i $ABD$, f.eks. $\vec{AD}$ og $\vec{DB}$. Sjekk dette ved å ta skaalarproduktet.

Her er då mitt løysingsforslag: Håper det kan gjerast slik.

Finn først (DT) ⃗ og (CT) ⃗ og reknar så ut skalaprodukta til (CT) ⃗ ⏊ ABD ⇒ (CT) ⃗ · (DA) ⃗ = (CT) ⃗ · (DB) ⃗ = 0
Sjå oppgåveløysing nedafor.

b) La medianane i ABD skjere kvarandre i T. Vis at (CT) ⃗ står vinkelrett på sideflata ABD.

Setninga om medianane i ein trekant. Dei tre medianane i ein trekant skjer kvarandre i eitt punkt. Dette skjeringspunktet
deler medianane i forholdet 2:1. Dette punktet kallast trekanten sitt tyngdepunkt. Medianen frå ∠ ADB skjer AB i
skjeringspunktet kalla S.

(DS) ⃗ = (DA) ⃗ + 1/2 (AB) ⃗ = a ⃗ + 1/2 (-a ⃗+ b ⃗ ) = 2/2 a ⃗ - 1/2 a ⃗ +1/2 b ⃗ = 1/2 a ⃗ + 1/2 b ⃗

(DT) ⃗ = 2/3 (DS) ⃗ ⇒ 2/3 · (1/2 a ⃗+1/2 b ⃗ ) = 1/3 a ⃗ + 1/3 b ⃗ = 1/3 ( a ⃗+b ⃗ )

(CT) ⃗ = (CD) ⃗ + (DT) ⃗ = - c ⃗ + 1/3 ( a ⃗+b ⃗ )

(CT) ⃗ ⏊ ABD ⇒ (CT) ⃗ · (DA) ⃗ = (CT) ⃗ · (DB) ⃗ = 0

(CT) ⃗ · (DA) ⃗ = (CT) ⃗ · (DB) ⃗ = 0

(CT) ⃗ · (DA) ⃗ = - c ⃗ + 1/3 ( a ⃗+b ⃗ ) · a ⃗ = 0
(CT) ⃗ · (DB) ⃗ = - c ⃗ + 1/3 ( a ⃗+b ⃗ ) · b ⃗ = 0

Alt dette ser riktig ut. Det eneste problemet er at du ikke viser at $\vec{CT}\cdot\vec{DA} = \vec{CT}\cdot\vec{DB} = 0$. Du bare påstår det.

Den er grei, men forstår ikkje korleis eg skal kome meg vidare.
Må vel finne verdiane til vetorane a, b og c på ein måte som eg ikkje forstår.

[tex]\left | \right |[/tex]

geil wrote:Den er grei, men forstår ikkje korleis eg skal kome meg vidare.
Må vel finne verdiane til vetorane a, b og c på ein måte som eg ikkje forstår.

Bruk at $\vec a\cdot\vec b = a*b*cos\alpha$, hvor $a$ og $b$ er lengdene til henholdsvis $\vec a$
og $\vec b$ og $\alpha$ er vinkelen mellom $\vec a$ og $\vec b$.

(CT) ⃗ · (DA) ⃗ = - c ⃗ + 1/3 ( a ⃗+b ⃗ ) · a ⃗ = 0
(CT) ⃗ · (DB) ⃗ = - c ⃗ + 1/3 ( a ⃗+b ⃗ ) · b ⃗ = 0[/quote]

Skal være:
(CT) ⃗ · (DA) ⃗ =( - c ⃗ + 1/3 ( a ⃗+b ⃗ )) · a ⃗ = 0
(CT) ⃗ · (DB) ⃗ = (- c ⃗ + 1/3 ( a ⃗+b ⃗ ) )· b ⃗ = 0

Hei!
Forstår ikkje korleis eg skal finne |a ⃗ | = |b ⃗ | = |c ⃗ |
Sjå nedafor:

∠ (a ⃗, b ⃗) = ∠ (b ⃗, c ⃗) = ∠ (a ⃗, c ⃗) = 60°

La |a ⃗ | = |b ⃗ | = |c ⃗ |

|a ⃗ | = √(a ⃗ · a ⃗ ) = √(a ⃗^2 )

cos 60° = 1/2

a ⃗ · b ⃗ = |a ⃗ | · |b ⃗ | · cos ∠ (a ⃗,b ⃗ ) = |a ⃗ | · |b ⃗ | · cos ∠ 60° = |a ⃗ | · |b ⃗ | · 1/2

Her stopper det for meg

[tex]\cos[/tex]

geil wrote:Hei!
Forstår ikkje korleis eg skal finne |a ⃗ | = |b ⃗ | = |c ⃗ |
Sjå nedafor:

∠ (a ⃗, b ⃗) = ∠ (b ⃗, c ⃗) = ∠ (a ⃗, c ⃗) = 60°

La |a ⃗ | = |b ⃗ | = |c ⃗ |

|a ⃗ | = √(a ⃗ · a ⃗ ) = √(a ⃗^2 )

cos 60° = 1/2

a ⃗ · b ⃗ = |a ⃗ | · |b ⃗ | · cos ∠ (a ⃗,b ⃗ ) = |a ⃗ | · |b ⃗ | · cos ∠ 60° = |a ⃗ | · |b ⃗ | · 1/2

Her stopper det for meg

$\vec{CT}\cdot\vec{DA} = (-\vec{c} + \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b}))\cdot\vec{a} = -\vec{c}\cdot\vec{a}
+ \frac{1}{3}\vec{a}\cdot\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}\cdot\vec{a} = -|\vec{c}|*|\vec{a}|* cos 60 + \frac{1}{3}|\vec{a}|^2 +
\frac{1}{3}|\vec{b}|*|\vec{a}| * cos 60 = |\vec{a}|^2 *(-\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} * \frac{1}{2}) = 0 $.

Tusen Takk
Dette var tung materie og fordøye