matematikk.net

Hei har ei oppgåve som eg treng litt hjelp til.
Har klart å løyse a, b, c, dog e, men står fast på f, g og h

Oppgåve 2.128 R2 Sigma 2015
Vi har gitt ein trekanta pyramide ABCD der hjørna har koordinatane A (1, 1, 0), B (3, 2, 6), C (3, - 4, - 6) og D (5, 0, - 3).
a) Set opp ei parameterframstilling for linja gjennom B og D

(BD) ⃗ = [5 - 3, 0 - 2, - 3 - 6] = [2, - 2, - 9]

{█(x=3+ 2t@y=2-2t @z=6-9t )┤

b) Rekn ut arealet av trekanten ABC.

(AB) ⃗ = [3 - 1, 2 - 1, 6 - 0] = [2, - 1, 6]
(AC) ⃗ = [3 - 1, - 4 - 1, - 6 - 0] = [2, - 5, - 6]

(AB) ⃗ x (AC) ⃗ = [2, - 1, - 9] x [2, - 5, - 6]

(_2^2) _( -5)^( 1) 〖⤨ 〗_( -6 )^( 6) 〖⤨ 〗_( 2)^( 2) 〖⤨ 〗_( -5)^( 1) _(-6)^( 6)

[((1) · (-6)) - ((-5) · (6)), ((6) · (2) - ((-6) · (2)), ((2) · (-5)) – ((2) · (1))]
[(- 6 + 30), (12 + 12), (- 10 - 2)] = [24, 24, - 12]

T = 1/2 · |(AB) ⃗ x (AC) ⃗ | = 1/2 · |[36,24,- 12]| = 1/2 · √(24^2+24^2+ 〖(-12)〗^2 )
= 1/2 · √(576+576+ 144) = 1/2 · √1296 = 1/2 · √36 · √36 = 1/2 · 36 = 18

c) Finn likninga for planet α gjennom A, B og C.

a (〖x-x〗_0) + b (y - y_0) + c (z - z_0) = 0
24 (x-1) + 24 (y - 1) - 12 (z - 0) = 0
24x - 24 + 24y - 24 - 12z = 0
24x + 24y - 12z - 48 = 0 │: 12
2x + 2y - z - 4 = 0

Α: 2x + 2y - z - 4 = 0

d) Rekn ut volumet av pyramiden ABCD.

(AD) ⃗ = [5 – 1, 0 – 1, - 3 - 0] = (4, - 1, - 3]

V_P = 1/3 · G · h = 1/6 · |((AB) ⃗ x (AC)) ⃗·(AD) ⃗ | = 1/6 · |([24,24,-12]·[4,-1,-3]|
= 1/6 · ((24 · 4 + 24 · (- 1) + (- 12) · ( - 3)) = 1/6 · (96 - 24 + 36) = 1/6 · 108 = 18

e) Finn vinkelen mellom sideflata ACD og grunnflata ABC.

u ⃗ = (AB) ⃗ x (AC) ⃗ = [24, 24, - 12]

v ⃗ = (AC) ⃗ x (AD) ⃗ = [2, - 5, - 6] ·[4,-1,-3]

(_4^2) _( -1)^( -5) 〖⤨ 〗_( -3 )^( -6) 〖⤨ 〗_( 4)^( 2) 〖⤨ 〗_( -1)^( -5) _(-3)^(-6)

[((-5) · (-3)) - ((-1) · (-6)), ((-6) · (4) - ((-3) · (2)), ((2) · (-1)) – ((4) · (-5))]
[(15 - 6), (-24 + 6), (- 2 + 20)] = [9, 18, 18]

|u ⃗ | = |[24,24,- 12]| = 36
|v ⃗ | = |[9,18,18]| = √(9^2+ 18^2+ 18^2 ) = √(81+324+324) = √729 = 27
u ⃗ · v ⃗ = [24, 24, - 12] · [9, 18, 18] = (24 · 9 + 24 · 18 - 12 · 18) = 216 + 432 - 216 = 432

cos ∠ (u ⃗, v ⃗) = (u ⃗ · v ⃗ )/(|u ⃗ | · |v ⃗ | ) = 432/(36 · 27) = (432 )/972 = 0,4444

cos – 1 (0,4444) ≈ 63,61°

Vinkelen mellom sideflata ACD og grunnflata ABC er ∠ (u ⃗, v ⃗) = 93,6°

Her står eg fast
f) Vis at mengda av dei punkta som ligg like langt frå planet α som frå planet β gjennom
A, C, D, utgjer dei to plana

γ_1: x + 4y – 3z – 5 = 0
γ_2: 3x + z – 3 = 0

α: 2x + 2y - z - 4 = 0

Finn likninga for planet α gjennom A, C og D.

a (〖x-x〗_0) + b (y - y_0) + c (z - z_0) = 0
9 (x-1) + 18 (y - 1) + 18 (z - 0) = 0
9x - 9 + 18y - 18 + 18z = 0
9x + 18y + 18z - 27 = 0 │: 9
x + 2y + 2z - 3 = 0

β: x + 2y + 2z - 3 = 0

g) Finn koordinatane til punkt E som ligg på sidekanten BD, like langt frå α som frå β.



h) Planet gjennom A, C og D kallar vi β
Vis ved rekning at vi har

1. ∠ (α, γ_1) = 1/2 ∠ (α, β)
2. γ_1⏊ γ_2

Forklar resultata i 1 og 2 geometrisk

Hei igjen!
I din utregning av normalvektoren til sideflaten $ACD$ har du glemt minustegnet i y-komponenten. Den skal være $[9,-18,18] = 9*[1,-2,2]$. Derfor blir din angivelse av likningen for planet $\beta$ også feil. Det skal være $2x +2y -z - 4 = 0$.
Avstanden fra et vilkårlig punkt $(x,y,z)$ til planet $ax + by +cz +d = 0$ er gitt ved formelen
$\frac{|ax + by +cz +d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$. Mengden av de punktene som ligger like langt fra planet $\alpha$ som fra planet $\beta$ må defror være punkter som passer i likningen:

$\frac{|x - 2y + 2z + 1|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = \frac{|2x + 2y - z -4|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2}}$

På grunn av absolutt-tegnet får vi to likninger: $x - 2y + 2z + 1 = 2x + 2y - z -4$ og
$ x -2y + 2z +1 = -(2x + 2y - z -4)$. Dette gir likningene $\gamma_1 : x + 4y - 3z = 0 $ og
$\gamma_2 : 3x + z - 3 = 0$.

For å finne punktet $ E$ som ligger på sidekanten $BD$ like langt fra planet $\alpha$ som fra
planet $\beta$, må det lages en parameterfremstilling av linjen som går gjennom $B$ med $\vec{BD}$ som retningsvektor. Uttrykkene for $ x, y, z $ settes så inn i den av likningene $\gamma_1$ , $\gamma_2$ som gir verdier for $x, y, z$ som ligger på linjestykket $BD$.

Når det gjelder h 1), kan du regne ut vinkelen mellom planet $\alpha$ og planet $\gamma_1$ og vinkelen mellom planet $\alpha$ og planet $\beta$ for tallmessig å vise at denne siste vinkelen er den dobbelte av den første.

Dette kan også vises geometrisk. Tenk deg at du ser ned på planene $\alpha$ og $\beta$ parallelt med skjæringslinjen mellom dem. Planene vil da danne to linjer som krysser hverandre, og planet $\gamma_1$ må åpenbart halvere vinkelen mellom planet $\alpha$ og planet $\beta$. Halver så de fire toppvinklene som dannes. Kall halvdelen i de to størte toppvinklene for $u,$ og halvdelen i de to minste for $v$. $u + v + v + u$ må nå danne en rett linje, altså $180$ grader. Da må $ u + v $ danne $90$ grader.

Takk for hjelpa.
Har no løyst resten av oppgåva sjå nedafor
håper den er ok.
e) Finn vinkelen mellom sideflata ACD og grunnflata ABC.

u ⃗ = (AB) ⃗ x (AC) ⃗ = [24, 24, - 12]

v ⃗ = (AC) ⃗ x (AD) ⃗ = [2, - 5, - 6] ·[4,-1,-3]

(_4^2) _( -1)^( -5) 〖⤨ 〗_( -3 )^( -6) 〖⤨ 〗_( 4)^( 2) 〖⤨ 〗_( -1)^( -5) _(-3)^(-6)

[((-5) · (-3)) - ((-1) · (-6)), ((-6) · (4) - ((-3) · (2)), ((2) · (-1)) – ((4) · (-5))]
[(15 - 6), (-24 + 6), (- 2 + 20)] = [9, - 18. 18] = 9 · [1, - 2, 2]

|u ⃗ | = |[24,24,- 12]| = 36
|v ⃗ | = |[9,- 18,18]| = √(9^2+ 〖(-18)〗^2+ 18^2 ) = √(81+324+324) = √729 = 27
u ⃗ · v ⃗ = [24, 24, - 12]·[9, - 18, 18] = (24·9 + 24·(- 18) + ((- 12)·18) = 216 - 432 - 216 = -432

cos ∠ (u ⃗, v ⃗) = (u ⃗ · v ⃗ )/(|u ⃗ | · |v ⃗ | ) = (- 432)/(36 · 27) = - (4 )/9 = - 0,4444

cos – 1 (- 0,4444) ≈ 116,38°

Vinkelen mellom sideflata ACD og grunnflata ABC er ∠ (u ⃗, v ⃗) =180° - 116,4° = 63,6°

f) Vis at mengda av dei punkta som ligg like langt frå planet α som frå planet β gjennom
A, C, D, utgjer dei to plana

γ_1: x + 4y – 3z – 5 = 0
γ_2: 3x + z – 3 = 0

Finn likninga for planet β gjennom A, C og D.

a (〖x-x〗_0) + b (y - y_0) + c (z - z_0) = 0
1 (x-1) - 2 (y - 1) + 2 (z - 0) = 0
x - 1 - 2y + 2 + 2z = 0
x - 2y + 2z + 1 = 0

β: x - 2y + 2z + 1 = 0

α: ax + by + cz + d = 0, er
q = |ax_1 + by_1 + cz_1 + d|/√(a^2 + b^2 + c^2 )

|x -2y + 2z + 1|/√(1^2+ 〖(-2)〗^2+2^2 ) = |2x + 2y - z - 4|/√(2^2+ 2^2+(-〖1)〗^2 ) ⇒ |x -2y + 2z + 1|/√(1 + 4 + 4) = |2x + 2y - z - 4|/√(4 + 4 + 1) ⇒ |x -2y + 2z + 1|/√9 = |2x + 2y - z - 4|/√9
|x -2y + 2z + 1|/3 = |2x + 2y - z - 4|/3 ⇒ |x -2y + 2z + 1| = |2x + 2y - z - 4|

På grunn av absolutt teiknet får vi to likningar:

I: x -2y + 2z + 1= 2x + 2y - z – 4
x – 2x – 2y – 2y + 2z + z + 1 + 4 = 0
- x – 4y + 3z + 5 = 0
x + 4y – 3z – 5 = 0

II: x -2y + 2z + 1= - (2x + 2y - z – 4)
x + 2x – 2y + 2y + 2z – z + 1 – 4 = 0
3x + z – 3 = 0

g) Finn koordinatane til punkt E som ligg på sidekanten BD, like langt frå α som frå β. Vis ved rekning at vi har

Parameterframstillinga av for linja gjennom B og D.

{█(x=3+ 2t@y=2-2t @z=6-9t )┤

Set uttrykka for (x, y, z) inn i den av likningane γ_1, γ_2 som gir verdiar for x, y, z som ligg på linjestykket BD.

γ_1: x + 4y – 3z – 5 = 0
3 + 2t + 4 (2 - 2t - 3 (6 - 9t) - 5 = 0
3 + 2t + 8 – 8t – 18 + 27t – 5 = 0
2t – 8t + 27t + 3 + 8 – 18 – 5 = 0
21t – 12 = 0
21t = 12
t = 12/21
t = 4/7

x = 3 + 2t y = 2 – 2t z = 6 – 9t
x = 3 + 2 · 4/7 y = 2 – 2 · 4/7 z = 6 – 9 · 4/7
x = 21/7 + 8/7 y = 14/7 - 8/7 z = 42/7 - 36/7
x = 29/7 y = 6/7 z = 6/7

γ_1: x + 4y - 3z - 5 = 0
x + 4y - 3z – 5 = 0
29/7 + 4 · 6/7 - 3 · 6/7 - 5 = 0
29/7 + 24/7 - 18/7 - 35/7 = 0
53/7 - 53/7 = 0

Likninga er oppfylt og punktet E (29/7,6/7,6/7) ligg på linjestykket BD.

γ_2: 3x + z - 3 = 0
3 (3 + 2t) + (6 - 9t) - 3 = 0
9 + 6t + 6 - 9t - 3 = 0
6t – 9t + 9 + 6 – 3 = 0
- 3t + 12 = 0
3t = 12
t = 12/3
t = 4
x = 3 + 2t y = 2 - 2t z = 6 - 9t
x = 3 + 2 · 4 y = 2 - 2 · 4 z = 6 - 9 · 4
x = 11 y = - 6 z = - 30

Her får vi y = - 6 og punktet E (11, - 6, -30) ligg derfor ikkje på linjestykket BD.

h) Planet gjennom A, C og D kallar vi β.
Vis ved rekning at vi har:

1. ∠ (α, γ_1) = 1/2 ∠ (α, β)

β: x - 2y + 2z + 1 = 0
γ_1: x + 4y – 3z – 5 = 0

(n_α ) ⃗ = [1, - 2, 2]
(n_(γ_1 ) ) ⃗= [1, 4, - 3]

|(n_α ) ⃗ | = |[1,- 2,2]| = √(1^2+ 〖(-2)〗^2+ 2^2 ) = √(1+4+4) = √9 = 3
|(n_(γ_1 ) ) ⃗ | = |[1,4,-3]| = √(1^2+ 4^2+ 〖(-3)〗^2 ) = √(1+16+9) = √26
(n_α ) ⃗ · (n_(γ_1 ) ) ⃗ = [1, - 2, 2] · [1, 4, - 3] = (1 · 1 + (-2) · 4 + 2·(-3) = 1 - 8 - 6 = - 13

cos ∠ (α,γ_1 ) = (u ⃗ · v ⃗ )/(|u ⃗ | · |v ⃗ | ) = (- 13)/(3 · √26) = (- 13 · √26)/(3 · √26 · √26) = (- 13 · √26)/(3 · 26) = (- 1 · √26)/(3 · 2) = - 1/6 √26 = - 0,8498

cos – 1 (- 0,8498) ≈ 31,81°

Vinkelen mellom planet α og planet γ_1 er ∠ (α,γ_1 ) = 31,8°

1. ∠ (α, γ_1) = 1/2 ∠ (α, β)
2 · ∠ (α, γ_1) = ∠ (α, β)

2 · 31,8° = 63,6°

Vi bevist at ∠ (α, γ_1) = 1/2 ∠ (α, β)



2. γ_1⏊ γ_2

Dersom (γ_1 ) ⃗ og (γ_2 ) ⃗ ikkje er 0 ⃗, gjeld

(γ_1 ) ⃗⏊ (γ_2 ) ⃗ ⇔ (γ_1 ) ⃗· (γ_2 ) ⃗ = 0

(γ_1 ) ⃗· (γ_2 ) ⃗ = |(γ_1 ) ⃗ | · |(γ_2 ) ⃗ | · cos ∠ (γ_1,γ_2 )

γ_1: x + 4y – 3z – 5 = 0
γ_2: 3x + z – 3 = 0

(n_(γ_1 ) ) ⃗= [1, 4, - 3]
(n_(γ_2 ) ) ⃗= [3, 0, 1]

|(n_(γ_1 ) ) ⃗ | = |[1,4,-3]| = √(1^2+ 4^2+ 〖(-3)〗^2 ) = √(1+16+9) = √26
|(n_(γ_2 ) ) ⃗ | = |[3,0,1]| = √(3^2+ 0^2+ 1^2 ) = √(9+0+1) = √10
(n_(γ_1 ) ) ⃗ · (n_(γ_2 ) ) ⃗ = [1, 4, - 3] · [3, 0, 1] = (1 · 3 + 4 · 0 + (- 3) · 1 = 3 + 0 - 3 = 0

cos ∠ (γ_1,γ_2 ) = ((n_(γ_1 ) ) ⃗ ·(n_(γ_2 ) ) ⃗ )/(|(n_(γ_1 ) ) ⃗ | · |(n_(γ_2 ) ) ⃗ ⃗ | ) = 0/(√26 · √10) = 0

cos – 1 (0) ≈ 90°

Vinkelen mellom planet γ_1 og planet γ_2 er ∠ (γ_1,γ_2 ) = 90°

Vi har bevist at planet γ_1 og planet γ_2 står vinkelrett på kvarandre γ_1⏊ γ_2.

Forklar resultata i 1 og 2 geometrisk

Vi tenker at vi står og ser ned på plana dei 4 plane rett ovafor.

1. Geometrisk
Vinkelen mellom plana α og β blir hlaver av planet γ_1.

2. Geometrisk
Vinkel mellom plana γ_1 og γ_2 står vinkelrett på kvarandre.

Dette er utmerket!


Vi tenker at vi står og ser ned på plana dei 4 plane rett ovafor.

1. Geometrisk
Vinkelen mellom plana α og β blir hlaver av planet γ_1.

2. Geometrisk
Vinkel mellom plana γ_1 og γ_2 står vinkelrett på kvarandre.

Du kommer ikke helt i land her på det siste spørsmålet om en geometrisk påvisning. Hvis du tegnet krysset mellom planene og halverer de fire vinklene og kaller de fir minste for u og de fire største for v, vil du se at 2u + 2v = 180 og at følgelig, u + v, som er vinkelen mellom $\gamma_1$ og $\gamma_2$ = 90.

Visste ikkje kva som krevdes når eg skulle forklare det geometrisk.
Forstår det slik at det ikkje er nok berre å forklare, ein må bevise det utifrå
geometrien.

Tusen Takk igjen for god rettleiing.