matematikk.net

Skal finne maksimum og minimum til funksjonen;

f (x,y) = x^2+2xy+2y^2

når vi har at;

g (x,y) = x^2+2y^2 = 1

f(x,y) = 1 + 2xy = 1 + y[rot][/rot](1 - 2y^2) = g(y). Så er det berre å finna maksimum og minimum til denne funksjonen...

Alternativt: I ekstremalpunkta finst c slik at df/dx = c * dg/dy og df/dy = c * dg/dy. (Lagranges multiplikatormetode.)

df/dx = 2x + 2y = c * dg/dy = 2cx
df/dy = 2x + 4y = 4cy

La x/y = z. Ved å dela begge likningane på y får me 2z + 2 = 2cz og 2z + 4 = 4c, som gjev c = z/2 + 1 og dermed 2z + 2 = 2z^2 + 2z, dvs. z = 1 eller z = -1, dvs. x = y eller x = -y og dermed x^2 = y^2.

(1) x = y gjev g(x,y) = 3x^2 = 1 og f(x,y) = 4x^2 = 4/3.
(2) x = -y gjev g(x,y) = 3x^2 = 1 og f(x,y) = x^2 = 1/3.

Me har no funne maksimumen og minimumen til funksjone f(x,y) gjeve restriksjonen g(x,y) = 1. (Kommentar: Nokre steg i prosessen kan sjølvsagt gjerast på fleire ulike måtar. Det er til dømes ikkje nødvendig å innføra z = x/y.)

Signaturen "Gjest" gjør en regnefeil som gjør at ekstremalpunktene blir gale. Vedkommende kommer til at c=z/2 + 1, som innsatt i likningen 2z + 2 = 2cz gir

2z + 2 = 2z(z/2 + 1) = z[sup]2[/sup] + 2z, (ikke 2z[sup]2[/sup] + 2z som "Gjest" får)

dvs. at z[sup]2[/sup] = 2. Siden z=x/y, blir x[sup]2[/sup] = 2y[sup]2[/sup]. Altså må

1 = x[sup]2[/sup] + 2y[sup]2[/sup] = 2y[sup]2[/sup] + 2y[sup]2[/sup] = 4y[sup]2[/sup],

så y[sup]2[/sup] = 1/4 og x[sup]2[/sup] = 2y[sup]2[/sup] = 1/2. Herav følger at │x│= 1/[rot][/rot]2 og │y│= 1/2, som gir 2xy = ±1/[rot][/rot]2. Ettersom f(x,y)=1 + 2xy, kan vi konkludere med at

f[sub]min[/sub](x,y) = 1 - 1/[rot][/rot]2,

f[sub]max[/sub](x,y) = 1 + 1/[rot][/rot]2.

For øvrig glemmer signaturen "Gjest" å undersøke tilfellet y=0 når han/hun innfører variablen z=x/y. I dette tilfelle kommer man frem til løsningen x=y=0, som gir f(x,y)=1. Men ettersom 1 - 1/[rot][/rot]2 < 1 < 1 + 1/[rot][/rot]2, har f ikke et globalt ekstremalpunkt i origo.

Denne oppgaven blir enklere å løse dersom man anvender funksjonen f(x,y) = 1 + 2xy i stedet for f(x,y) = x[sup]2[/sup] + 2xy + 2y[sup]2[/sup]. Et annet alternativ er å parametrisere ellipsen x[sup]2[/sup] + 2y[sup]2[/sup] = 1 ved å innføre polare koordinater, dvs. x=cosθ og y=sinθ/[rot][/rot]2. Da får vi at

f(x,y) = 1 + 2xy = 1 + 2*cosθ*sinθ/[rot][/rot]2 = 1 + sin2θ/[rot][/rot]2.

Fordelen med denne metoden, er at man ser uten videre ser hva minimal- og maksimalverdien til f er.