Konstruere matrise med fine egenverdier

[Nebuchadnezzar]

Anta jeg ønsker å konstruere en matrise $A\in M_{3x3}$

$A=\left(\begin{array}{ccc}{x}_{11}& x_{12}& x_{13}\\ x_{21}& x_{22}& x_{23}\\ x_{31}& x_{32}& x_{33}\end{array}\right)$

slik at $A$ har egenverdiene $a$ og $b$, hvor $b$ er en dobbelrot og $a,b\in \mathbb{N}$.

Hvordan må konstantene $x_{ij}$ ($i,j\in \{1,2,3\}$) velges slik at $A$ har de ønskede egenverdiene? Merk jeg ønsker $x_{ij}\ne 0$ samt at $x_{ij}\in \mathbb{N}$.

[Gustav]

Det eneste jeg kommer på av metode er følgende:

La $D=\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& 0& 0\\ 0& {\lambda }_2& 0\\ 0& 0& {\lambda }_2\end{array}\right)$ ,der ${\lambda }_i$ er de oppgitte egenverdiene til $A$.

Sett $A=PD{P}^{-1}$ der $3\times 3$-matrisen $P$ må velges slik at $detP\ne 0$ og elementene i $PD{P}^{-1}$ er med i $\mathbb{N}\setminus \{0\}$. Skriver du $P=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right)$ er $P^{-1}=\frac{1}{detP}\left(\begin{array}{ccc}A& B& C\\ D& E& F\\ G& H& I\end{array}\right)$, der

$A=ei-fh$
$B=-(di-fg)$
$C=dh-eg$
$D=-(bi-ch)$
$E=ai-cg$
$F=-(ah-bg)$
$G=bf-ce$
$H=-(af-cd)$
$I=ae-bd$

[Mentos]

Det eneste jeg kommer på av metode er følgende:

La $D=\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& 0& 0\\ 0& {\lambda }_2& 0\\ 0& 0& {\lambda }_2\end{array}\right)$ ,der ${\lambda }_i$ er de oppgitte egenverdiene til $A$.

Sett $A=PD{P}^{-1}$ der $3\times 3$-matrisen $P$ må velges slik at $detP\ne 0$ og elementene i $PD{P}^{-1}$ er med i $\mathbb{N}\setminus \{0\}$. Skriver du $P=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right)$ er $P^{-1}=\frac{1}{detP}\left(\begin{array}{ccc}A& B& C\\ D& E& F\\ G& H& I\end{array}\right)$, der

$A=ei-fh$
$B=-(di-fg)$
$C=dh-eg$
$D=-(bi-ch)$
$E=ai-cg$
$F=-(ah-bg)$
$G=bf-ce$
$H=-(af-cd)$
$I=ae-bd$

Ved å ta matrisen over til å være diagonal får du diagonaliserbare matriser. Hvis du putter inn andre ting enten over eller under diagonalen får du samme egenverdier, og litt fler eksempler (disse trenger ikke være diagonaliserbare!). Over de komplekse tallene kan alle matriser A skrives som $PB{P}^{-1}$ der B er øvre triangulær, så da får du alle mulige eksempler på denne måten.

[Gustav]

Godt poeng. Jordan normal form!

Okke som reduseres vel problemet til prøve-og-feile i f.eks. matlab. Noen eksplisitt formel for matriseelementene i P, som funksjon av egenverdiene ${\lambda }_i$ tviler jeg på at det er så lett å finne(?)

[Mentos]

Godt poeng. Jordan normal form!

Okke som reduseres vel problemet til prøve-og-feile i f.eks. matlab. Noen eksplisitt formel for matriseelementene i P, som funksjon av egenverdiene ${\lambda }_i$ tviler jeg på at det er så lett å finne(?)

Neida, matrisen $PA{P}^{-1}$ har samme egenverdier som $A$ for alle $P$. Hvis $A$ har egenverdi $\lambda$ med egenvektor $v$ så har vi

$PA{P}^{-1}(Pv)=PAv=P\lambda v=\lambda (Pv)$,

så $PA{P}^{-1}$ har egenvektor $Pv$ med egenverdi $\lambda$. Hvis du vil at matrisen for eksempel skal ha heltallsverdier, så tar du $P$ til å ha heltall. Med andre ord tar du $A$ til å være øvre diagonal med egenverdier langs diagonalen, og konjuger med en vilkårlig matrise for å generere andre med samme egenverdier (Disse har ikke samme egenvektor).

[Gustav]

Neida, matrisen $PA{P}^{-1}$ har samme egenverdier som $A$ for alle $P$. Hvis $A$ har egenverdi $\lambda$ med egenvektor $v$ så har vi

$PA{P}^{-1}(Pv)=PAv=P\lambda v=\lambda (Pv)$,

så $PA{P}^{-1}$ har egenvektor $Pv$ med egenverdi $\lambda$. Hvis du vil at matrisen for eksempel skal ha heltallsverdier, så tar du $P$ til å ha heltall. Med andre ord tar du $A$ til å være øvre diagonal med egenverdier langs diagonalen, og konjuger med en vilkårlig matrise for å generere andre med samme egenverdier (Disse har ikke samme egenvektor).

Problemet her var vel hvordan velge $P$ (og $B$ over diagonalen) slik at $A=PB{P}^{-1}$ består kun av positive heltall.

[Mentos]

Neida, matrisen $PA{P}^{-1}$ har samme egenverdier som $A$ for alle $P$. Hvis $A$ har egenverdi $\lambda$ med egenvektor $v$ så har vi

$PA{P}^{-1}(Pv)=PAv=P\lambda v=\lambda (Pv)$,

så $PA{P}^{-1}$ har egenvektor $Pv$ med egenverdi $\lambda$. Hvis du vil at matrisen for eksempel skal ha heltallsverdier, så tar du $P$ til å ha heltall. Med andre ord tar du $A$ til å være øvre diagonal med egenverdier langs diagonalen, og konjuger med en vilkårlig matrise for å generere andre med samme egenverdier (Disse har ikke samme egenvektor).

Problemet her var vel hvordan velge $P$ (og $B$ over diagonalen) slik at $A=PB{P}^{-1}$ består kun av positive heltall.

Aha, for positivitet må man kanskje prøve seg litt frem. Kanskje man kan bruke ortogonale matriser? (da er invers lik transponert). Tar man slike bestående av positive rasjonale tall og ganger med felles nevner til slutt vil man skalere egenverdiene litt, men likevel beholde det at to er like.