matematikk.net

Hei treng hjelp når det gjeld parallelle linjer del oppgåve c)
Vis at dei to partikkelbanene ikkje skjer kvarandre.
sjå nedafor

OPPGÅVE TEKST og løysingar

Linjene l og m er gitt ved parameterframstillingane:

l: {█(x=2r @y=-24+5r@z=r )┤ m: {█(x=4-2s @y=-20+4s @z=4-s )┤

a) Finn koordinatane til ein vektor n ⃗ som står vinkelrett på l og m.

(n_lm ) ⃗ = (n_l ) ⃗ x (n_m ) ⃗= [2, 5, 1] x [ - 2, 4, - 1]

(_-2^2) _(4 )^5 〖⤨ 〗_(-1)^( 1 ) 〖⤨ 〗_(-2)^( 2) 〖⤨ 〗_( 4 )^( 5 ) _(-1)^( 1)

[((5) · (-1)) - (4) · (1)), (1) · (-2) - ((-1) · (2)), ((2) · (4)) – ((-2) · (5))]
[(-5 - 4), (-2 + 2), (8 + 10)] = [- 9,0,18] = - 9 · [1,0,- 2]

(n_lm ) ⃗ = [1,0,- 2]

b) Planet α går gjennom m og er parallelt med l. Vis at α har likninga x – 2z + 4 = 0.

a (〖x-x〗_0) + b (y - y_0) + c (z - z_0) = 0
1(x – 4) + 0(y + 20) – 2(z – 4) = 0
x – 4 – 2z + 8 = 0
x – 2z + 4 = 0

α: x – 2z + 4 = 0

Linjene l og m representerer banene til to elementærpartiklar i høve til eit koordinatsystem. Eininga er 1 cm.

c) Finn vinkelen mellom dei to partikkelbanene. Vis at dei to partikkelbanene ikkje skjer kvarandre.

|(r_l ) ⃗ | = |[2,5,1]| = √(2^2+5^2+1^2 ) = √( 4+25+1) = √( 30)
|(r_m ) ⃗ | = |[- 2,4,- 1 ]| = √((-2)+4^2+〖(-1)〗^2 ) = √( 4+16+1) = √( 21)
(r_l ) ⃗ · (r_m ) ⃗ = [2,5,1] · [- 2,4,- 1 ] = (2·(-2) + 5 · 4+1 ·(-1) = 15

cos ((r_l ) ⃗,(r_m ) ⃗ ) = ((r_l ) ⃗ · (r_m ) ⃗)/(|(r_l ) ⃗ ⃗ | · |(r_m ) ⃗ | ) = 15/( √30 · √21) = 15/(√9 · √70) = 15/(3 · √70) =
(5√70)/(√70 · √70) = 5/70 √70 = 1/14 √70 = 0,5976

cos – 1 (0,5976) = 53,30°

∠ ((r_l ) ⃗,(r_m ) ⃗ ) = 53,3°


c) Vi skal undersøke om to linjer er parallelle.
1. Sjekke om retningsvektorene er parallelle: (r_l ) ⃗  k · (r_m ) ⃗
2. Sjekke om cos ((r_l ) ⃗,(r_m ) ⃗ ) = ((r_l ) ⃗ · (r_m ) ⃗)/(|(r_l ) ⃗ ⃗ | · |(r_m ) ⃗ | )blir lik 1. (vinkel lik 0)
3. Sjekke om : (r_l ) ⃗ x (r_m ) ⃗  0 ⃗ (eller |(r_l ) ⃗ · (r_m ) ⃗ |  0)
Sjekker dette og forstår ikkje at dei er parallelle

Hei,

[tex]\overrightarrow{n_{\alpha }}\cdot \overrightarrow{r_{l}}=\begin{bmatrix} 1,0,-2 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 2,5,1 \end{bmatrix}=2-2=0[/tex]

Dermed er linja [tex]l[/tex] parallell med planet [tex]\alpha[/tex] som også linja [tex]m[/tex] ligger i.
Således kan [tex]l[/tex] og [tex]m[/tex] aldri skjære hverandre og er altså parallelle.

Tusen Takk

Hei igjen
Har løyst oppgåve etter tipset frå deg slik:
Vis at dei to partikkelbanene ikkje skjer kvarandre.

Planet α med normalvektoren (n_α ) ⃗ er parallell med både l og m. Punktet M (4, - 20, 4) ligg på linja m. Vi bestemmer
planet α slik at M ligg i α. Avstanden mellom l og m er no lik avstanden frå l til α. Vi sjekkar derfor om normalvektoren
(n_α ) ⃗ til planet α står vinkelrett på retningsvektoren (r_l ) ⃗ til linja l . Det gjer vi med å rekne ut skalarproduktet til dei
to vektorane.

Vinkelrette vektorar
Dersom p ⃗ og q ⃗ ikkje er 0 ⃗, gjeld

p ⃗ ⏊ q ⃗ ⇔ p ⃗ · q ⃗ = 0

(n_α ) ⃗ · (r_l ) ⃗ = [1,0,- 2] · [2, 5, 1] = (1 · 2 + 0 · 5 + ( - 2) · 1) = 2 + 0 – 2 = 0

Skalarproduktet til vektorane er null og dei to partikkelbanene er parallelle og ikkje skjer kvarandre.