matematikk.net

Hei! Jeg sliter med oppgave 6.55 fra Sinus R2-boka. Oppgaven er å integrere dette:



Jeg har brukt samme fremgangsmåte som fasiten (substitusjonsmetoden først) der u = (x^2+1) og du/dx = 2x, slik at integralet blir ∫ 2(x^2+1)*e^(x^2+1) du, altså ∫ 2u* e^u du.

Det jeg ikke skjønner er hvordan de kom fram til dette:



Jeg skjønner ikke hvorfor det står ∫2*e^u du. Når jeg prøvde å løse oppgaven kom jeg fram til at det skulle stå ∫2(x^2+1)*e^(x^2+1), altså ∫2u*e^u. I følge formelen ∫ u*v' dx = u * v - ∫ u' * v dx skal det i dette området stå ∫u' * v du, og hvis vi velger u = (x^2+1) og v = e^(x^2+1) så må det jo stå ∫2(x^2+1)*e^(x^2+1). Skjønner ikke hva jeg ikke har fått med meg.

Gjerne gi utfyllende forklaring, jeg har slitet med denne oppgaven en god stund nå.

Husk at de først bruker substitusjon, og deretter delvis integrasjon, to ulike operasjoner (det er med andre ord ikke samme $u$ vi prater om)

Om vi har

$\hspace{1cm}
\int 2u \cdot e^{u} \,\mathrm{d}u
$

Så kan vi bruke delvis integrasjon med

$\hspace{1cm}
\int w\,v' = w\,v - \int w' v
$

der $w = 2u$ og $v' = e^{u} = v$ (merk at jeg nå brukte $w$ og ikke $u$ når jeg satte opp den delvise integrasjonen for å unngå forvirring).

Regner med du nå klarer resten. Siste steget er å substituere tilbake $x^2 + 1$ alle plassene hvor det står $u$, samt å legge på C.

HB_20 wrote:Hei! Jeg sliter med oppgave 6.55 fra Sinus R2-boka. Oppgaven er å integrere dette:



Jeg har brukt samme fremgangsmåte som fasiten (substitusjonsmetoden først) der u = (x^2+1) og du/dx = 2x, slik at integralet blir ∫ 2(x^2+1)*e^(x^2+1) du, altså ∫ 2u* e^u du.

Det jeg ikke skjønner er hvordan de kom fram til dette:



Jeg skjønner ikke hvorfor det står ∫2*e^u du. Når jeg prøvde å løse oppgaven kom jeg fram til at det skulle stå ∫2(x^2+1)*e^(x^2+1), altså ∫2u*e^u. I følge formelen ∫ u*v' dx = u * v - ∫ u' * v dx skal det i dette området stå ∫u' * v du, og hvis vi velger u = (x^2+1) og v = e^(x^2+1) så må det jo stå ∫2(x^2+1)*e^(x^2+1). Skjønner ikke hva jeg ikke har fått med meg.

Gjerne gi utfyllende forklaring, jeg har slitet med denne oppgaven en god stund nå.

Det som antakelig har skapt vanskeligheter, er at $u$ blir brukt som variabel i substitusjonen $ x^2 + 1 = u$ samtidig som u dukker opp igjen i den generelleformelen for delvis integrasjon: $∫ u*v' dx = u * v - ∫ u' * v . $ u´ i det siste leddet i denne formelen tilsvarer $(2u)´$ i ditt integral, og her er det u som er integrasjonsvariabelen og ikke x, som er integrasjonsvariabelen i den generelle formelen for delvis integrasjon. $ (2u)´= 2$. Derfor ∫2*e^u du i utregningen over.

josi wrote:

HB_20 wrote:Hei! Jeg sliter med oppgave 6.55 fra Sinus R2-boka. Oppgaven er å integrere dette:



Jeg har brukt samme fremgangsmåte som fasiten (substitusjonsmetoden først) der u = (x^2+1) og du/dx = 2x, slik at integralet blir ∫ 2(x^2+1)*e^(x^2+1) du, altså ∫ 2u* e^u du.

Det jeg ikke skjønner er hvordan de kom fram til dette:



Jeg skjønner ikke hvorfor det står ∫2*e^u du. Når jeg prøvde å løse oppgaven kom jeg fram til at det skulle stå ∫2(x^2+1)*e^(x^2+1), altså ∫2u*e^u. I følge formelen ∫ u*v' dx = u * v - ∫ u' * v dx skal det i dette området stå ∫u' * v du, og hvis vi velger u = (x^2+1) og v = e^(x^2+1) så må det jo stå ∫2(x^2+1)*e^(x^2+1). Skjønner ikke hva jeg ikke har fått med meg.

Gjerne gi utfyllende forklaring, jeg har slitet med denne oppgaven en god stund nå.

Det som antakelig har skapt vanskeligheter, er at $u$ blir brukt som variabel i substitusjonen $ x^2 + 1 = u$ samtidig som u dukker opp igjen i den generelleformelen for delvis integrasjon: $∫ u*v' dx = u * v - ∫ u' * v . $ u´ i det siste leddet i denne formelen tilsvarer $(2u)´$ i ditt integral, og her er det u som er integrasjonsvariabelen og ikke x, som er integrasjonsvariabelen i den generelle formelen for delvis integrasjon. $ (2u)´= 2$. Derfor ∫2*e^u du i utregningen over.

Tusen takk for svar.

Nebuchadnezzar wrote:Husk at de først bruker substitusjon, og deretter delvis integrasjon, to ulike operasjoner (det er med andre ord ikke samme $u$ vi prater om)

Om vi har

$\hspace{1cm}
\int 2u \cdot e^{u} \,\mathrm{d}u
$

Så kan vi bruke delvis integrasjon med

$\hspace{1cm}
\int w\,v' = w\,v - \int w' v
$

der $w = 2u$ og $v' = e^{u} = v$ (merk at jeg nå brukte $w$ og ikke $u$ når jeg satte opp den delvise integrasjonen for å unngå forvirring).

Regner med du nå klarer resten. Siste steget er å substituere tilbake $x^2 + 1$ alle plassene hvor det står $u$, samt å legge på C.

Tusen takk for svar.