matematikk.net

Hei!
Har ei oppgåve 2. 159 frå Sigma R2 2015
I denne oppgåve er det mykje som er vanskeleg å forstå,
og ønskjer difor hjelp.
Sjå oppgåve tekst nedafor.
Står heilt fast på oppgåve b) 3 og 4.
Legg med mitt løysingsforslag på det eg trur eg har fått til?


Oppgåve 2.159
I vidaregåande matematikk inneheld gitte funksjonsuttrykk ofte fleire aktuelle variablar. Eit eksempel kan vere

F (x, y) = 〖3x〗^2 y^3 + 〖4xy〗^5

Dersom vi skal derivere dett funksjonsuttrykket må vi bestemme oss for om x eller y er variabelen. Ser vi på x som variabel, skriv vi

(∂ f (x,y))/(∂ x) = 〖6xy〗^3 + 〖4y〗^5

Ser vi på y som variabel, skriv vi

(∂ f (x,y))/(∂ y) = 9xy^3 + 〖20xy〗^4

Vi tenkjer oss at vi har ei flate i rommet som er gitt ved ei parameterframstilling med parametrane s og t:

r ⃗ = r ⃗ (s, t) = |x(s,t), y(s,t), z(s,t)|

I vidaregåande romgeometri har vi ei setning som seier at normalvektoren n ⃗ til ei flate i eit punkt med parameterverdiane s og t er gitt ved

n ⃗ (s, t) = (∂ r ⃗ (s,t))/(∂ s) x (∂ r ⃗ (s,t))/(∂ t)

a) Eit plan α er gitt ved parameterframstillinga

α: {█(x=3 + 4s + 5t@y=2 + 3s-2t @z=1-2s + 7t )┤

1. Skriv planlikninga på forma r ⃗ (s, t).
2. Bruk formelen for n ⃗ (s, t) ovafor til å finne ein normalvektor til α.
3. Finn ei likningsframstilling for α.

b) Ei kuleflate K er gitt ved parameterframstillinga

K: {█(x=2+3 cos⁡s · cos⁡t @y=2+3 sin⁡s · cos⁡t @z=1+3 sin⁡t )┤

1. Finn senteret S og radien i kuleflata.
2. Vis at kuleflata går gjennom origo
3. Bruk formelen ovanfor til å finne ein formel for n ⃗ (s, t) til kuleflata..
4. La P vere eit vilkårleg punkt på kuleflata. Vis at vektorane (SP) ⃗ og n ⃗ (s, t) er parallelle. Kva for ei geometrisk setning
uttrykkjer dette?
5. Finn likninga for tangentplanet til kula i origo.

SVAR:
a) Eit plan α er gitt ved parameterframstillinga

α: {█(x=3 + 4s + 5t@y=2 + 3s-2t @z=1-2s + 7t )┤

1. Skriv planlikninga på forma r ⃗ (s, t).

r ⃗ (s, t) = [3 + 4s + 5t, 2 + 3s – 2t, 1 – 2s + 7t]

2. Bruk formelen for n ⃗ (s, t) ovafor til å finne ein normalvektor til α.

n ⃗ (s, t) = (∂ r ⃗ (s,t))/(∂ s) x (∂ r ⃗ (s,t))/(∂ t)

n ⃗ (s, t) = [4, 3, - 2] x [5, - 2, 7]

(_5^4) _(-2 )^( 3) 〖⤨ 〗_( 7)^( -2 ) 〖⤨ 〗_5^4 〖⤨ 〗_(-2)^( 3 ) _( 7)^(-2)

[((3) · (7)) - (-2) · (-2)), (-2) · (5) - ((7) · (4)), ((4) · (-2)) – ((5) · (3))]
[(21 - 4), (- 10 - 28), (- 8 - 15)] = [17,- 38,- 23]

n ⃗ = [17, - 38, - 23]

3. Finn ei likningsframstilling for α.

A (3, 2, 1)
n ⃗_α = [17,- 38,- 23]

a(〖x-x〗_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0
17(x-3) - 38(y -2) - 23(z -1) = 0
17x – 51 - 38y + 76 - 23z + 23 = 0
17x - 38y - 23z – 51 + 76 + 23 = 0
17x – 38y – 23z + 48 = 0

α: 17x - 38y - 23z + 48 = 0

b) Ei kuleflate K er gitt ved parameterframstillinga

K: {█(x=2+3 cos⁡s · cos⁡t @y=2+3 sin⁡s · cos⁡t @z=1+3 sin⁡t )┤

1. Finn senteret S og radien i kuleflata.

Ei kuleflate med sentrum i S (x_0, y_0, z_0) og radius r har likninga

(x-x_0 )^2 + (y-y_0 )^2 + (z-z_0 )^2 = r2

(x-2)^2 + (y-2)^2 + (z-1)^2 = 32

S (2, 2, 1) og r = 3

2. Vis at kuleflata går gjennom origo

(SP) ⃗ = [2 – 0, 2 – 0, 1 - 0] = [2, 2, 1]
|SP|= |[2,2,1]| = √(2^2+ 2^2 1^2 ) = √(4+4+1) = √9 = 3

Avstanden frå origo til P er 3 og kuleflata går dermed gjennom origo

3. Bruk formelen ovanfor til å finne ein formel for n ⃗ (s, t) til kuleflata..

4. La P vere eit vilkårleg punkt på kuleflata. Vis at vektorane (SP) ⃗ og n ⃗ (s, t) er parallelle. Kva for ei geometrisk setning
uttrykkjer dette?
5. Finn likninga for tangentplanet til kula i origo.

n ⃗ = [2, 2, 1]

a (〖x-x〗_0) + b (y - y_0) + c (z - z_0) = 0
2(x-0) + 2(y -0) + 1(z -0) = 0
2x + 2y + z = 0

2x + 2y + z = 0

Bruk formelen ovanfor til å finne ein formel for n ⃗ (s, t) til kuleflata..

Først deriverer du vektoren $\vec{r(s,t)} = [2 + 3cos(s)cos(t),2 + 3sin(s)cos(t),1 + 3sin(t)] $ m.h.p $s$ og så m.h.p. $t$.
Det gir vektorene $ \frac{\partial}{\partial s}\vec{r(s,t)} = [-3sin(s)cos(t), 3cos(s)cos(t),0] $
og $ \frac{\partial}{\partial t}\vec{r(s,t)} = [-3cos(s)sin(t),-3sin(s)sin(t),3cos(t)]$
Normalvektoren $ \vec{n(s,t)} $ til tangentplanet er nå
$ \frac{\partial}{\partial s}\vec{r(s,t)}\times \frac{\partial}{\partial t}\vec{r(s,t)}.$ Utfør denne vektoroperasjonen og finn likningen til planet for $s,t = 0$.
Vektoren $\vec{SP}$ fra kulesenteret $ S = [2,2,1]$ til et vilkårlig punkt $P$ på kula
$ = \vec{r(s,t)} - [2,2,1] = [3cos(s)cos(t),3sin(t)cos(t),3sin(t)]$. Du kan nå se at hvis du ganger $\vec{SP}$ med $3cos(t)$, får du
$ \vec{n(s,t)} $ . Da må $\vec{SP}$ være parallell med $ \vec{n(s,t)} $. Dette var å forvente da radien i en kule alltid står normalt på tangentplanet til kula i punktet hvor radien skjærer kuleflaten.

Hei!
Takk for god hjelp.
Har med din hjelp nå også løyst b) 3 og 4.
Håper dette kan vere ei godkjent løysing.

3. Bruk formelen ovanfor til å finne ein formel for n ⃗ (s, t) til kuleflata..

r ⃗ (s, t) = [2 + 3 cos (s) · cos (t), 2 + 3 sin (s) · cos (t), 1 + 3 sin (t) ]

Derivasjon av trigometriske funksjonar:

f (x) = sin x ⇒ fʹ (x) = cos x
f (x) = cos x ⇒ fʹ (x) = - sin x

Vi deriverer vektoren r ⃗ (s, t) først i høve på s også i høve på t:

(∂ r ⃗ (s,t))/(∂ s) = r ⃗ʹ (s) = [ - 3 sin (s) · cos (t), 3 cos (s) · cos (t), 0]
(∂ r ⃗ (s,t))/(∂ t) = r ⃗ʹ (t) = [ - 3 cos (s) · sin (t), - 3 sin (s) · sin (t), 3 cos (t)]

n ⃗ (s, t) = (∂ r ⃗ (s,t))/(∂ s) x (∂ r ⃗ (s,t))/(∂ t)

(_- 3 cos (s) · sin (t),^(- 3 sin (s) · cos (t))) _(- 3 sin (s) · sin (t) )^( 3 cos (s) · cos (t)) 〖⤨ 〗_( 3 cos (t))^( 0 ) 〖⤨ 〗_(- 3 cos (s) · sin (t))^(- 3 sin (s) · cos (t)) 〖⤨ 〗_(- 3 sin (s) · sin (t))^( 3 cos (s) · cos (t) ) _( 3 cos (t))^( 0)

[((3 cos (s)·cos (t)) · (3 cos (t))) - (- 3 sin (s)·sin (t)) · (0)),
(0) · (- 3 cos (s)·sin (t)) - ((3 cos (t)) · (- 3 sin (s)·cos (t))),
((- 3 sin (s)·cos (t) · (- 3 sin (s)·sin (t)) – ((- 3 cos (s)·sin (t)) · (3 cos (s)·cos (t))]
[9 cos (s)·cos^2 (t) - 0), 0 + 9 sin (s)·cos^2 (t),
9 sin^2 (s)·sin(t) · cos (t) + 9 cos^2 (s)·sin (t) · cos (t)]
= [9 cos (s)·cos^2 (t),9 sin (s)·cos^2 (t),(sin^2 (s)+cos^2 (s))·(9 · (sin (t)·cos (t)))]
= [9 cos (s)·cos^2 (t),9 sin (s)·cos^2 (t),9 sin⁡(t) ·cos (t)]

[tex]NB! sin^2 (s)+cos^2 (s) = 1[/tex]

n ⃗ (s, t) = [9 cos (s)·cos^2 (t),9 sin (s)·cos^2 (t),9 sin⁡(t) ·cos (t)]

4. La P vere eit vilkårleg punkt på kuleflata. Vis at vektorane (SP) ⃗ og n ⃗ (s, t) er parallelle. Kva for ei geometrisk setning uttrykkjer dette?

S = (2, 2, 1)
r ⃗ (s, t) = [2 + 3 cos (s) · cos (t), 2 + 3 sin (s) · cos (t), 1 + 3 sin (t) ]

(SP) ⃗ = r ⃗ (s, t) - S = [2 + 3 cos (s) · cos (t), 2 + 3 sin (s) · cos (t), 1 + 3 sin (t)] - [2, 2, 1]
= [2 - 2 + 3 cos (s) · cos (t), 2 – 2 + 3 sin (s) · cos (t), 1 - 1 + 3 sin (t)]
= [3 cos (s) · cos (t), 3 sin (s) · cos (t), 3 sin (t)]

Sjekke om retningsvektorene er parallelle:

r ⃗_1  k · r ⃗_2

n ⃗ (s, t) = k · (SP) ⃗

k = (n ⃗ (s,t) )/(SP) ⃗
= ([9 cos (s)·cos^2 (t),9 sin (s)·cos^2 (t),9 sin⁡(t) ·cos (t)] )/([3 cos (s)· cos (t),3 sin (s)· cos (t),3 sin (t)])
= 3 cos (t) ([3 cos (s) · cos (t),3 sin (s) ·cos (t),3 sin (t)] )/([3 cos (s)· cos (t),3 sin (s)· cos (t),3 sin (t)])
= 3 cos (t)

n ⃗ (s, t) = k · (SP) ⃗
[9 cos (s)·cos^2 (t),9 sin (s)·cos^2 (t),9 sin⁡(t)·cos (t)]
= 3 cos (t) · [3 cos (s) · cos (t), 3 sin (s) · cos (t), 3 sin (t)]

Vi ser at vektoren (SP) ⃗ gongar med 3 cos (t) gir normalvektoren n ⃗ (s, t). Då er (SP) ⃗ ∥ n ⃗ (s, t).

NB! Dette stemmer overeins med at radien i ei kule alltid star normal på tangentplanet til kula i punktet der radien skjer kuleflata.

Flott! Ser riktig ut. Godt jobba!