En interessant feilaktig antakelse?

[Aleks855]

I en nylig video av 3blue1brown (https://www.youtube.com/watch?v=ZxYOEwM6Wbk), så forekommer spørsmålet:

Hvis en funksjon $f$ har egenskapen $f(a+b) = f(a)\cdot f(b)$ for alle $a, b, \in \mathbb R$, hvilke av de følgende påstandene må være sann?

1: $f(5) = f(1)^5$

2: $f(\frac12) = \sqrt{f(1)}$

3: $f(-1) = \frac{1}{f(1)}$

Flere av svarene kan være riktig.

Under diskusjonen av oppgaven ble det forklart hvilke alternativer som var riktige, men Grant (karen foran kamera) innså at dette kanskje var feil, og man kan konstruere et moteksempel på et av alternativene som ble antatt for å være sant.

Dette problemet er åpent for diskusjon fordi det innledningsvis ikke var helt veldefinert, men det er et veldig godt eksempel på kritisk tenking, og man kan lære mye av å pludre med det.

[Gustav]

I en nylig video av 3blue1brown (https://www.youtube.com/watch?v=ZxYOEwM6Wbk), så forekommer spørsmålet:

Hvis en funksjon $f$ har egenskapen $f(a+b) = f(a)\cdot f(b)$ for alle $a, b, \in \mathbb R$, hvilke av de følgende påstandene må være sann?

1: $f(5) = f(1)^5$

2: $f(\frac12) = \sqrt(f(1))$

3: $f(-1) = \frac{1}{f(1)}$

Flere av svarene kan være riktig.

$f(5)=f(4+1)=f(4)f(1)=f(3)f(1)^2=f(2)f(1)^3=f(1)^5$ så nr.1 må være riktig.

Det er klart at f(a) identisk lik 0 er en løsning av ligningen. Dermed vil nr.3 ikke nødvendigvis være sann.


Edit: Rettelse angående argumentasjon for påstand nr. 2

[Aleks855]

Det er her jeg er litt usikker. Jeg ville påstått at 2 holder, siden $f(\frac12)\cdot f(\frac12) = f(\frac12 + \frac12) = f(1) \quad \Rightarrow \quad f(\frac12) = \sqrt{f(1)}$?

[Gustav]

Det er her jeg er litt usikker. Jeg ville påstått at 2 holder, siden $f(\frac12)\cdot f(\frac12) = f(\frac12 + \frac12) = f(1) \quad \Rightarrow \quad f(\frac12) = \sqrt{f(1)}$?

Siden kodomenet til $f$ ikke er angitt kan vi la $f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ gitt ved $f(x)=e^{-\pi i x}$, som tilfredsstiller funksjonalligningen. Da er

$f(\frac12)=e^{-\frac{\pi}{2}i}=-i$
$f(1)=e^{-\pi i}=-1$.

$f(\frac12)=-i \neq i=\sqrt{-1}=\sqrt{f(1)}$

Det blir jo et søkt moteksempel, men poenget er at oppgaveformuleringen må være tydeligere.

[Aleks855]

Ja, det var der problemet ble mer pedantisk.

Den aktuelle videoen omhandlet nettopp Eulers formel, så $\exp(x)$ var eksemplet som ble brukt, men ikke nødvendigvis med komplekst kodomene.

Vi har vel uansett $\exp(\frac12) \cdot \exp(\frac12) = \exp(1) = e$, med $\exp(\frac12) = \sqrt e$.

Er ikke dette et eksempel som tilfredsstiller både 1 og 2?

[Gustav]

Ja, det var der problemet ble mer pedantisk.

Den aktuelle videoen omhandlet nettopp Eulers formel, så $\exp(x)$ var eksemplet som ble brukt, men ikke nødvendigvis med komplekst kodomene.

Vi har vel uansett $\exp(\frac12) \cdot \exp(\frac12) = \exp(1) = e$, med $\exp(\frac12) = \sqrt e$.

Er ikke dette et eksempel som tilfredsstiller både 1 og 2?

Jo, i tilfellet $f(x)=exp(x)$. Jeg tolket problemet som at man skulle vise hvilke av påstandene som er riktige for alle $f$ som tilfredsstiller funksjonalligningen. (ikke bare for exp(x))

Når det gjelder påstand nr 3. er det nok å kreve at $f(0)\neq 0$. Ved innsetting av $a=b=0$ fås $f(0)=f(0)^2$. Siden $f(0)\neq 0$ er $f(0)=1$. $a=1$, $b=-1$ gir til slutt at $f(1)f(-1)=1$. Da er $f(1)\neq 0$ så divisjon er tillatt, og $f(-1)=\frac{1}{f(1)}$.