matematikk.net

Jeg trenger hjelp til denne oppgaven:

Tredjegradspolynomet P har et toppunkt i (-1,17) og et vendepunkt i (1,1).
Finn fuksjonsutrykket P(x)

På forhånd takk:)

P(x)=Ax[sup]3[/sup]+Bx[sup]2[/sup]+Cx+D

P`(-1)=17

P``(1)=1

P(-1)=17

P(1)=1

Dette gir deg fire likninger og fire ukjente koefissienter.

Nå er P''(x) = ax + b hvor a og b er konstanter. Siden P har et vendepunkt i (1,1), må

P''(1) = a + b = 0,

så b = -a. Ergo blir P''(x) = ax - a. Ved å integrere, får vi at P'(x) = (a/2)x[sup]2[/sup] - ax + c der c er en konstant. I.o.m. at (-1,17) er et toppunkt, må

P'(-1) = a/2 + a + c = 3a/2 + c = 0,

dvs. at c = -3a/2. Følgelig blir P'(x) = (a/2)x[sup]2[/sup] - ax - 3a/2. Integrerer vi igjen, blir resultatet P(x) = (a/6)x[sup]3[/sup] - (a/2)x[sup]2[/sup] - (3a/2)x + d hvor d er en konstant. Ettersom (1,1) og (-1,17) er punkter på grafen til P, må

P(1) = a/6 - a/2 - 3a/2 + d = -11a/6 + d = 1,
P(-1) = -a/6 - a/2 + 3a/2 + d = 5a/6 + d = 17.

Løser vi dette likningssystemet, finner vi at a=6 og d=12. Dermed kan vi konkludere med at

P(x) = x[sup]3[/sup] - 3x[sup]2[/sup] - 9x + 12.