Bevis om coset av R
Posted: 24/02-2006 12:22
Hei.
Her er oppgaven som jeg skal prøve å løse:
"Show that every left coset of the subgroup Z of the additive group of real numbers (R) contains exactly one element x such that 0 <=x < 1"
Og her er min løsning. Er den korrekt?
Da enhver gruppe er isomorfisk til en permutasjonsgruppe (Cayleys teorem), kan vi si at <R,+> er isomorfisk til permutasjonsgruppen S[sub]X[/sub], og det holder (pga isomorfien) å sjekke at alle venstre kosett gZ, g element i S[sub]X[/sub] inneholder et element x, 0 <= x < 1.
Da enhver permutasjon i en permutasjonsgruppe vil mappe nøyaktig ett element til ett og bare ett annet element (dvs at vi har bare en mapping til tallet 0), ser vi at det finnes bare en x i det venstre coset'et { gZ | g elt i R } der 0 <= x < 1
Hjelp?
Mvh. Egil M.
Her er oppgaven som jeg skal prøve å løse:
"Show that every left coset of the subgroup Z of the additive group of real numbers (R) contains exactly one element x such that 0 <=x < 1"
Og her er min løsning. Er den korrekt?
Da enhver gruppe er isomorfisk til en permutasjonsgruppe (Cayleys teorem), kan vi si at <R,+> er isomorfisk til permutasjonsgruppen S[sub]X[/sub], og det holder (pga isomorfien) å sjekke at alle venstre kosett gZ, g element i S[sub]X[/sub] inneholder et element x, 0 <= x < 1.
Da enhver permutasjon i en permutasjonsgruppe vil mappe nøyaktig ett element til ett og bare ett annet element (dvs at vi har bare en mapping til tallet 0), ser vi at det finnes bare en x i det venstre coset'et { gZ | g elt i R } der 0 <= x < 1
Hjelp?
Mvh. Egil M.