matematikk.net

Et vektorfelt er gitt: f=(5x^3/3, 5y^3/3, 5z^3/3)
Flaten s er også gitt: s: x^2 + y^2 + z^2 = 1.

oppgaven ber om regne ut flateintegralet av f * n, der f er det oppgitte vektorfeltet, mens n er normalvektor.

Svar: 4π

Kan noen forklare meg hvordan man kommer fram til svaret?

Tips!

Bruk Divergensen!!

Utnytt at

[tex]\iint_S \textbf{F}\cdot \hat{\textbf{N}}dS=\iiint_R \nabla \cdot \textbf{F}dV[/tex].

[+] Skjult tekst

Med forbehold om feil:

Vi har at

[tex]\nabla\cdot \textbf{F}=\frac{\partial}{\partial x}\frac{5x^3}{3}+\frac{\partial}{\partial y}\frac{5y^3}{3}+\frac{\partial}{\partial z}\frac{5z^3}{3}=5(x^2+y^2+z^2)[/tex]

Så

[tex]\iint_S \textbf{F}\cdot \hat{\textbf{N}}dS=\iiint_R5(x^2+y^2+z^2)dV[/tex]

Innfører deretter kulekoordinater [tex](x,y,z)=(\rho\cos\theta\sin(\phi),\rho\sin\theta\sin\phi,\rho\cos\theta)[/tex]

Så vi har at

[tex]\iiint_R \nabla\cdot \textbf{F}dV=\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_0^15\rho^2\rho^2\sin\phi d\rho d\phi d\theta=4\pi[/tex]