Nøtt

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Nøtt

Innlegg Løs_ODE » 29/05-2020 22:53

utvider til tre oppgaver av varierende v.g
1. La [tex]p[/tex] være et et primtall som er større enn 3 og la [tex]k=\left [ 2p/3 \right ][/tex], bevis nå at summen[tex]\binom{p}{1}+\binom{p}{2}+...\binom{p}{k}[/tex] av binomialkoeffisientene er delelig med [tex]p^2[/tex]


2. Uttrykk [tex]\sum_{k=1}^{\infty }\frac{6^k}{(3^{k+1}-2^{k+1})(3^k-2^k)}[/tex] som et rasjonalt tall


3. Bestem antall [tex]k[/tex] hvis binomialkoeffisienten [tex]\binom{100}{k}[/tex] skal være odde
Løs_ODE offline
Noether
Noether
Innlegg: 26
Registrert: 19/11-2018 23:03
Bosted: Oslo

Re: Nøtt

Innlegg Solar Plexsus » 21/06-2020 11:48

Nøtt nr. 2: Summen av den uendelige rekken kan regnes ut på følgende vis:

[tex]\sum_{k=1}^{\infty} \frac{6^k}{(3^{k+1} - 2^{k+1})(3^k - 2^k)}[/tex]

[tex]= \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{3^k - 2^k} - \frac{2^{k+1}}{3^{k+1} - 2^{k+1}}[/tex]

[tex]= \frac{2^1}{3^1 - 2^1} + \sum_{k=2}^{\infty} \frac{2^k}{3^k - 2^k} - \sum_{m=2}^{\infty} \frac{2^m}{3^m - 2^m}[/tex]

[tex]= \frac{2}{3 - 2} = \frac{2}{1} = 2.[/tex]


Nøtt nr. 3: Eulers faktoriseringsteorem sier at

[tex](1) \;\; n! = \prod_{p \in \mathbb{P}} p^{\nu(p)},[/tex]

der

[tex](2) \;\; \nu(p) = \sum_{k=1}^{\infty} \Big[ \frac{n}{p^k} \Big].[/tex]

Ved å uttrykke $n$ i $p$-tallssystemet, får vi ved å anvende formelen (2) at

[tex](3) \;\; \nu(p) = \frac{n - n_t}{p - 1},[/tex]

der $n_t$ er tverrsummen av $n$. Dermed får vi vha av formelen (3) at multiplisiteten $m(p)$ til primtallet $p \leq n$ i binomialkoeffisienten [tex]\binom{n}{k}[/tex] er

[tex](4) \;\; m(p) = \frac{n_t - k_t - (n - k)_t}{p - 1}.[/tex]

Dermed følger det av formelen (4) at [tex]\binom{100}{k}[/tex] med $0 < k < 100$ (NB! $\binom{100}{k}=1$ når $k=0$ eller $k=100$) er odde hvis og bare hvis

[tex](1100100)_t - k_t - (1100100 - k)_t = 0,[/tex]

i.e.

[tex](5) \;\; k_t + (1100100 - k)_t = 3.[/tex]

I formelen (5) er altså $k$ skrevet i totallssystemet.

Ved å skrive $k$ i titallssystemet, får vi vha. av formelen (5) at $(k,100 - k) = (2^x,2^y+2^z)$ eller $(k,100 - k) = (2^y+2^z,2^x)$, der $x,y,z$ er ikke-negative tall. I begge tilfeller får vi

[tex]k + (100 - k) = 2^x + (2^y + 2^z)[/tex],

som gir

[tex](6) \;\; 2^x + 2^y + 2^z = 100.[/tex]

Vi vet (siden [tex]100_{\mbox{ti}} = 1100100_{\mbox{to}}[/tex]) at løsningene av likning (6) når $x,y,z$ er distinkte er $(x,y,z) = (2,5,6)$ og dette triplets permutasjoner.

Anta at $x,y,z$ ikke distinkte. Da kan vi uten tap av generalitet anta at $y=z$, som ifølge likningen (6) gir [tex]2^x + 2^{y+1} = 100,[/tex] som gir

[tex](7) \;\; 2^{x-2} + 2^{y-1} = 25,[/tex]

som medfører at $x=2$ og $2^{y-1}=24$ eller $y=1$ og $2^{x-2}=24$ som gir $y \not \in \mathbb{Z}$ og $x \not \in \mathbb{Z}$ respektive.

Summa summarum får vi at binomialkoeffisienten $\binom{100}{k}$ er odde hvis og bare hvis $k,100-k \in \{0,2^2,2^5,2^6\}$, dvs. når $k \in \{0,4,32,36,64,68,96,100\}$.

Konklusjon: Binomialkoeffisienten $\binom{100}{k}$ er odde for åtte verdier av $k \in \{0,1,2, \ldots, 100\}$.
Solar Plexsus offline
Over-Guru
Over-Guru
Innlegg: 1673
Registrert: 03/10-2005 11:09

Re: Nøtt

Innlegg Løs_ODE » 21/06-2020 13:21

2 og 8 er korrekte løsninger . hadde vært interessant å se en løsning på oppgave 1 også
Løs_ODE offline
Noether
Noether
Innlegg: 26
Registrert: 19/11-2018 23:03
Bosted: Oslo

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 4 gjester