matematikk.net

Hei treng hjelp står fast på denne opgåva.

Løysing av likninga a sin cx + b cos cx = d

C 3.58 sigma R2 2015
Løys likningane når x ∈ [0, 2π⟩:

a) 2 sin 2 x + 3 cos^2 x = 5 cos x

Prøver med å løyse den slik: sin 2x = 2 sin x cos x
2 · 2 sin x cos x + 3 cos2 x = 5 cos x │: cos x cos x ≠ 0
(4 sin⁡〖x cos⁡x 〗)/cos⁡x + (〖3 cos〗^2 x)/cos⁡x = (5 cos⁡x)/cos⁡x
4 sin x + 3 cos x = 5

A = √(a^2+ b^2 ) = √(〖(4)〗^2+ 〖(3)〗^2 ) = √(16+9) = √25 = 5

(a, b) = (4, 3), ligg i første kvadrant φ ∈ 0, π/2⟩

tan φ = b/a = 3/4, φ = tan – 1 (3/4) = 0,644
φ = 0,644 + n · 2π
φ = 0,644
5 sin (x +0,644) = 5
sin (x+0,644) = 5/5
sin – 1 (1) = π/2

x + 0,644=π/2+ π

Når eg delar på cos x trur eg at eg mistar ei løysing
men veit ikkje korleis eg kan løyse den annaleis
sjå ovanfor.

Som du selv sier så mister du løsningen $\cos x = 0$ når du deler på $\cos x$. Men det er forsåvidt greit det, så lenge du er klar over at du mister denne løsningen! For det betyr jo at du også vet at $\cos x = 0$ er en løsning i likningen, og da får vi også

$\cos x = 0$

$x = \frac{\pi}{2} + n\cdot \pi$

som løsning. Innenfor området får vi da $x = \frac{\pi}{2} \vee x = \frac{3\pi}{2}$.


Alternativt:
Vi kan faktorisere likningen og bruke "produktregelen" for å bli kvitt dette problemet:

$4 \sin x \cos x + 3 \cos^2 x = 5 \cos x$

$4 \sin x \cos x + 3 \cos^2 x - 5 \cos x = 0$

$\cos x(4 \sin x + 3 \cos x - 5) = 0$

$\cos x = 0 \vee 4 \sin x + 3 \cos x - 5 = 0$

Takk for hjelpa
meiner vel at cos x = 0 gir løysinga

x = π/2 og x = 3π/2

Ja, det gikk litt fort der