matematikk.net

Hei!
Slit med to oppgåver, som er løyste i forslag til oppgåveløysing. Her hopper ein over
mellomrekningar slik at eg ikkje forstår kva som er gjort og kvifor.
Hadde vore god hjelp om nokon kunne legg inn/vise alle mellomrekninga,
slik eg kan følgje tankegangen.

B 3.66 Sigma R2 2015
Finn grenseverdiane:


a) lim(x→0)⁡〖sin⁡2x/x〗 = lim(x→0)⁡〖sin⁡2x/(1/2 · 2 x)〗 = lim(x→0)⁡〖2 · sin⁡2x/( 2 x)〗 = 2 · 1 = 2

b) lim(x→0)⁡〖tan⁡x/x〗 = lim(x→0)⁡〖sin⁡x/(x · cos⁡x )〗 = lim(x→0)⁡〖sin⁡x/x〗 · 1/cos⁡x = 1 · 1 = 1

I begge oppgavene brukes den "kjente" grenseverdien, $\lim_\limits{x\to0} \frac{\sin x}x = 1$. Mellomregninga i den første går i å sørge for at argumentet inni sinus-uttrykket er den samme som i nevneren.

Mellomregninga i den andre går i å bryte opp $\tan(x)$ slik at vi kan bruke den samme, kjente grenseverdien.

Denne kjente grenseverdien kan vises ganske lett med L'Hopitals regel, men denne er ikke pensum i R2 såvidt jeg vet.

Alternativt finnes en fin regneregel for grenseverdier vi kaller "skviseteoremet" som også kan brukes.

Jeg har laga et par videoer om akkurat denne grenseverdien med skviseteoremet som verktøy.

Lang versjon: https://udl.no/v/matematikk-blandet/bev ... mot-0-1357

Kort versjon: https://udl.no/v/matematikk-blandet/bev ... rsjon-1358

Det ser ut til at de i begge tilfeller har basert seg på et resultat om at

$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

Antar at kapitlet oppgaven kommer fra viser dette resultatet, og at man derfor prøver å få inn dette uttrykket i utregningene for å løse andre grenseverdi-oppgaver.

Bortsett fra dette synes jeg de har med alle mellomregninger her. Dette resultatet kan bl.a. vises ved L'Hôpitals regel (altså at siden det er et 0/0-uttrykk kan vi derivere teller og nevner for seg og finne grenseverdien av dette i stedet):

$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{(\sin x)'}{(x)'} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\cos x}{1} = \cos 0 = 1$

Hei!
Slik eg tolker dette går vi ut frå dei to spesielle grenseverdiane

lim(x→0)⁡〖sin⁡x/x〗= 1

lim(x→0)⁡〖(cos⁡x - 1)/x〗= 0

og bruker dei, når L Hopital`s regel ikkje er pensum.

NB! Det vil seie at når vi skal løyse oppgåver med grenseverdiar vil ein
omforme utrykket slik vi får eit av desse spesielle uttrykka og kan nytte
dei i å finne grensverdien til startuttrykket

NB! Har eg forstått dette riktig

Utrekningane til desse to spesielle grernseverdiane er som følgande:


Først skal vi vise at lim┬(∆x→0)⁡〖(f (x+ ∆x)- f (x))/∆x〗 = 1:

Nyttar dei tre Areala gjengitt i skviseteoremet blir

- A_1 = 1/2 · 1 · 1 · sin x, som vi får ved å bruke arealsetninga
- A_2 = πr^2 · b/2πr = 1/2 · b · r = 1/2 · x · 1
- A_3 = 1/2 · tan x, som vi får ved å bruke arealformelen for ein trekant

Når vi samanliknar areala, finn vi
A_1 ≤ A_2 ≤ - A_3
1/2 · sinn x ≤ 1/2 · x ≤ 1/2 · tan x
sin x ≤ x ≤ sin⁡x/cos⁡x

I resten av beviset går vi ut frå at x > 0. Vi får det same resultatet, men litt ulik rekning om vi let x < 0. No kan vi dividere med sin x overalt i ulikskapen:

1 ≤ x/sin⁡x ≤ 1/cos⁡x

Let vi no x→ 0, får vi 1/cos⁡x → 1/1 = 1. Då blir lim┬(x→0)⁡〖sin⁡x/x〗 klemt mellom 1-tal:

1 ≤ lim┬(x→0)⁡〖sin⁡x/x〗 ≤ 1 ⇔ lim┬(x→0)⁡〖sin⁡x/x〗 = 1

Så skal vi vise at lim┬(x→0)⁡〖(cos⁡〖x 〗- 1)/x〗 = 0. Dersom vi utvidar brøken med (cos x + 1) og brukar einingsformelen, får vi

(cos⁡〖x 〗- 1)/x = ((cos⁡〖x 〗- 1)(cos⁡〖x + 1〗))/(x(cos⁡〖x + 1〗)) = (〖cos〗^2 x - 1)/(x(cos⁡〖x + 1)〗 ) = (〖- sin〗^2 x)/(x(cos⁡〖x + 1)〗 )

Dette gjer vi så bruk av når vi reknar ut grenseverdien:

lim(x→0)⁡〖(cos⁡〖x 〗- 1)/x〗 = lim(x→0)⁡〖(〖- sin〗^2 x)/(x(cos⁡〖x + 1)〗 )〗 = lim(x→0) (sin⁡x/x)·((- sin⁡x)/(x(cosx + 1))) =1·0 = 0

HUGS!
fʹ(x) =lim(∆x→0)⁡〖(f (x+ ∆x)- f (x))/∆x〗

Hei!
Hei lurte berre på om dette er riktig

lim(x→0)〖⁡sin ⁡2x/(2x)〗= lim(x→0)⁡〖sin ⁡x/(x)〗= 1

Dermed får vi løysinga:

a) lim(x→0)⁡〖sin ⁡2x/x〗 = lim(x→0)⁡〖sin⁡ 2x/(1/2 · 2 x)〗
= lim(x→0)⁡〖2 · sin⁡ 2x/( 2 x)〗
= 2 · 1
= 2

Kan denne også løysast slik: sin 2x = 2 sin x cos x

a) lim┬(x→0)⁡〖sin⁡2x/x〗 = lim┬(x→0)⁡〖〖2 sin〗⁡〖x cos⁡x 〗/x〗
= lim┬(x→0)⁡〖2 cos⁡x· sin⁡x/( x)〗
= 2 cos (0) · 1
= (2 · 1) · 1
Kan denne også løysast slik med mellomutrekningar
b) lim(x→0)⁡〖tan⁡x/x〗 = lim(x→0)⁡〖sin⁡x/(x · cos⁡x )〗
= lim(x→0)⁡〖sin⁡x/x · 1/cos⁡x 〗
= 1 · 1/cos⁡ (0)
= 1 · 1/1
= 1 · 1
= 1

= 2 · 1
= 2

Hei,

[tex]\frac{sin(2x)}{2x}\neq \frac{sin(x)}{x}[/tex]

Prøv med [tex]x-[/tex]verdier nærme [tex]0[/tex].
F eks [tex]-0,01[/tex] og [tex]0,01[/tex]

Se vedlegg

Kristian Saug wrote:Hei,

[tex]\frac{sin(2x)}{2x}\neq \frac{sin(x)}{x}[/tex]

Prøv med [tex]x-[/tex]verdier nærme [tex]0[/tex].
F eks [tex]-0,01[/tex] og [tex]0,01[/tex]

Men ved å velge $x = 10^{-10}$ blir det ganske likt på lommeregneren.

Hei!
Eg var noko upresis i formuleringa
Det eg meinte var at grenseverdiane til desse to er 1 når x går mot null.

lim(x→0) sin ⁡x/x = 1

lim(x→0) sin 2⁡x/2x = 1

Det er vel riktig

Kristian Saug wrote:Hei,

[tex]\frac{sin(2x)}{2x}\neq \frac{sin(x)}{x}[/tex]

Prøv med [tex]x-[/tex]verdier nærme [tex]0[/tex].
F eks [tex]-0,01[/tex] og [tex]0,01[/tex]

Se vedlegg

Nei, men $\lim_{x\to0}\frac{\sin(2x)}{2x} = \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$, så det er jo en gyldig overgang.

Med L'Hopitals regel:

[tex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(2x)}{2x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2\cdot cos(2x)}{2}=\frac{2\cdot cos0}{2}=\frac{2\cdot 1}{2}=1[/tex]

(Deriverer teller og nevner hver for seg)