En annen fremgangsmåte er induksjon."
Grunntilfellet n=1: Da har vi 12+2=3 som ikke er delelig med 5.
Induksjonshypotesen: Vi antar at k2+2 aldri er delelelig med 5.
Induksjonssteget: Vi ønsker å vise at dersom k2+2 aldri er delelig med 2 så medfører dette at (k+1)2+2 aldri er delelig med 2. Ved å skrive ut så har vi
(k+1)2+2=(k2+2k+1)+2=(k2+2)+(2k+1)
For at (k+1)2+2 skal være delelig med 5 må både (k2+2) og (2k+1) være delelig med 5. Men fra induksjonshypotesen så er k2+2 ikke delelig med 2, og dette fullfører beviset.
Her lurer jeg på påstanden:
"For at (k+1)2+2 skal være delelig med 5 må både (k2+2) og (2k+1) være delelig med 5."
Er det riktig? Sett at a er summen av de hele tallene b og c: a = b + c. Hvis tallet n deler a, må det da også dele både b og c?
Her er en vri på oppgaven over.
Vis at $n^2 + 4$ ikke er delelig med 5 for alle n større enn 1. Dette stemmer for n = 2.
Setter $ n = k +1\\ {(k + 1)}^2 + 4 = k^2 + 2k + 1 + 4\\= (k^2 +4) + (2k +1)$
For k = 5 har vi f. eks. ${(k + 1)}^2 + 4 = 40$ som er delelig med 5, men det er hverken (k^2 +4) = 29 eller (2k +1) = 11. Siden n^2 + 4 er delelig med 5 for n = 5, er det altså noe galt med slutningen her.