matematikk.net

Har ei oppgåve frå Sigma R2 2015
Har problem med c) Får berre ei løysing innafor definisjonsområdet
Sjå løysing nedafor.

Oppgåve 3.104
Vi har studert farten og rørsleretninga til sjøvatnet ved utløpet av ein fjord på eit gitt tidspunkt. På djupna x meter under overflata har vatnet farten f (x) meter per sekund, der funksjonen f med god tilnærming er gitt ved

f (x) = e – 0,06 x cos 0,1x, D_f = [0,47]
Når f (x) er positiv, g år vatnet ut av fjorden.
Når f (x) er negativ, går vatnet inn.
c) Vis at

f ʹ (x) = - 0,1e – 0,06 x (sin 0,1 x + 0,6 cos 0,1 x),

Finn dei djupnene der vatnet har størst fart ut av fjorden og inn i fjorden. Finn farten i begge tilfella.

f ʹ (x) = 〖(e^(– 0,06 x) ·cos 0,1x)〗^ʹ
= e – 0,06 x · cos 0,1x · (- 0,06) + e^(– 0,06 x) · ( - sin 0,1x) · 0,1
= - 0,1 e^(– 0,06 x) · sin 0,1 x – 0,06 e – 0,06 x · cos 0,1x
= - 0,1 e^(– 0,06 x) (sin 0,1 x + 0,6 cos 0,1x)

f ʹ (x) = 0

- 0,1 e^(– 0,06 x) · sin 0,1 x – 0,06 e – 0,06 x · cos 0,1x = 0 cos - 1 (0,1) ≠ 0
- 0,1 e^(– 0,06 x) · sin 0,1 x = 0,06 e – 0,06 x · cos 0,1x = 0 │: 0,06 e – 0,06 x · cos 0,1x
(- 0,1 e^(– 0,06 x) · sin 0,1 x)/(0,06 e^(– 0,06 x) · cos 0,1x) = (0,06 e – 0,06 x · cos 0,1x)/(0,06 e^(– 0,06 x) · cos 0,1x)
- 10/6 tan 0,1x = 1
tan 0,1x = 1/(- 10/6)
tan 0,1x = - 6/10
tan (0,1x) = - 3/5 tan – 1 (- 3/5) = - 0,541

0,1x = - 0,541 + n · π
x = - 0,541/0,1 + (n · π)/0,1
x = - 5,41 + n · 31,416
x = - 5,41 + 1 · 31,41
x = 26

f (26) = e – 0,06 · 26 cos 0,1 · 26 = - 0,18

Hei!
Fasiten seier størst fart ut av fjorden på overflata. Der er farten 1 m/s.
Forstår ikkje kvar er overflata?
Er det i punktet (0,0) og grafen får punktet (0,1)

vi får då :
Størst fart inn i fjorden på 26 meter og fart 0,18 m/s
Størst fart ut fjorden på 0 meter og fart 1 m/s

Er dette riktig