(Eksamen V2013, del 2)
Funksjonen f er gitt ved
f (x) = 12 e^ (– 0,5 x) · sin (0,5 x), x ∈ [0, 4π]
a) Teikn grafen til f.
Hei!
Korleis kan eg berre utifrå funksjonsuttrykket til f (x) teikne grafen
Tenker ein kunne nytte at sin x toppunkt = 1 og botnpunkt sin x = -1.
Ser ikkje korleis ein kan gjere det her.
Hadde vore fint om nokon kunne hjelpe meg her
Trigonometri
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Jeg ville først funnet nullpunktene, og markert dem.
Deretter kan vi, som du sier, bruke at vi vet hvor toppunktene og bunnpunktene er. Altså for $x=\frac\pi2$ osv. Men vi måtte ha satt dette inn i funksjonen og regnet ut $12e^{-0.5\cdot\frac\pi2}\sin(0.5\frac\pi2)$ og resten av dem.
Det lar seg gjøre til en viss grad, men dette er en av de "vi KAN, men det tar såpass lang tid at vi lar det være". Og siden vi måtte regnet ut $e^\pi$ og liknende, så ser vi at det har en transcendental natur, så det beste vi kan gjøre er tilnærminger.
Deretter kan vi, som du sier, bruke at vi vet hvor toppunktene og bunnpunktene er. Altså for $x=\frac\pi2$ osv. Men vi måtte ha satt dette inn i funksjonen og regnet ut $12e^{-0.5\cdot\frac\pi2}\sin(0.5\frac\pi2)$ og resten av dem.
Det lar seg gjøre til en viss grad, men dette er en av de "vi KAN, men det tar såpass lang tid at vi lar det være". Og siden vi måtte regnet ut $e^\pi$ og liknende, så ser vi at det har en transcendental natur, så det beste vi kan gjøre er tilnærminger.
Hei!
Har løyst b) og fått følgane. sjå løysing nedanfor:
Lurer på kvifor ein i fasiten kjem fram til at (0, 0) 0g (4π, 0) er lokale botnpunkt når f` i intervallet 0- π/2 er voskande og intervallet 5π/2- 4π også er voksande.
Lager forteiknlinje til f ` (x) og ser følgande: Stigande frå 0 til π/2 minkande frå π/2 til 5π/2 og stigane frå 5π/2 til 4π
Begge dei to er nullpunkt til funksjonen
LØYSING
b) Finn eventuelle topp- botnpunkt på grafen til f
f ʹ (x) = (〖12e〗^(- 0,5 x) · sin (0,5 x))^ʹ
= 〖12e〗^(- 0,5 x) · ( - 0,5) · sin (0,5 x) + 〖12e〗^(- 0,5 x) · cos (0,5 x) · 0,5
= - 〖6e〗^(- 0,5 x) (sin〖 (0,5)x-cos〖 (0,5 x〗 〗 )
f ʹ (x) = 0
- 〖6e〗^(- 0,5 x) (sin〖 (0,5)x-cos〖 (0,5 x〗 〗 ) = 0
- 〖6e〗^(- 0,5 x) sin (0,5 x) = - 〖6e〗^(- 0,5 x) cos (0,5 x) cos (0,5 x) ≠ 0
(-〖6e〗^(- 0,5 x) sin (0,5 x) )/(-〖6e〗^(- 0,5 x) cos (0,5 x)) = (-〖6e〗^(- 0,5 x) cos (0,5 x))/(-〖6e〗^(- 0,5 x) cos (0,5 x))
tan (1/2 x) = 1 tan – 1 (1) = π/4
1/2 x = π/4 + n · π
x = π/4 · 2 + n · π · 2
x = π/2 + n · 2π
x = π/2 + 0 · 2π eller x = π/2 + 1 · 2π
x = π/2 eller x = 5π/2
f (0) = 12^(- 0,5 · 0) · sin (1/2 ·0) = 0
f (π/2 ) = 12^(- 0,5 · π/2) · sin (1/2 · π/2) ≈ 5,471 · 0,707 ≈ 3,868
f (5π/2 ) = 12^(- 0,5 · 5π/2) · sin (1/2 · 5π/2) ≈ 0,236 · ( - 0,707) ≈ - 0,167
f (4π) = 12^(- 0,5 · 4π) · sin (1/2 · 4π) = 0, 022 · 0 = 0
Toppunkt: (π/2,3,868 )
Botnpunkt: (5π/2,- 0,167 )
Har løyst b) og fått følgane. sjå løysing nedanfor:
Lurer på kvifor ein i fasiten kjem fram til at (0, 0) 0g (4π, 0) er lokale botnpunkt når f` i intervallet 0- π/2 er voskande og intervallet 5π/2- 4π også er voksande.
Lager forteiknlinje til f ` (x) og ser følgande: Stigande frå 0 til π/2 minkande frå π/2 til 5π/2 og stigane frå 5π/2 til 4π
Begge dei to er nullpunkt til funksjonen
LØYSING
b) Finn eventuelle topp- botnpunkt på grafen til f
f ʹ (x) = (〖12e〗^(- 0,5 x) · sin (0,5 x))^ʹ
= 〖12e〗^(- 0,5 x) · ( - 0,5) · sin (0,5 x) + 〖12e〗^(- 0,5 x) · cos (0,5 x) · 0,5
= - 〖6e〗^(- 0,5 x) (sin〖 (0,5)x-cos〖 (0,5 x〗 〗 )
f ʹ (x) = 0
- 〖6e〗^(- 0,5 x) (sin〖 (0,5)x-cos〖 (0,5 x〗 〗 ) = 0
- 〖6e〗^(- 0,5 x) sin (0,5 x) = - 〖6e〗^(- 0,5 x) cos (0,5 x) cos (0,5 x) ≠ 0
(-〖6e〗^(- 0,5 x) sin (0,5 x) )/(-〖6e〗^(- 0,5 x) cos (0,5 x)) = (-〖6e〗^(- 0,5 x) cos (0,5 x))/(-〖6e〗^(- 0,5 x) cos (0,5 x))
tan (1/2 x) = 1 tan – 1 (1) = π/4
1/2 x = π/4 + n · π
x = π/4 · 2 + n · π · 2
x = π/2 + n · 2π
x = π/2 + 0 · 2π eller x = π/2 + 1 · 2π
x = π/2 eller x = 5π/2
f (0) = 12^(- 0,5 · 0) · sin (1/2 ·0) = 0
f (π/2 ) = 12^(- 0,5 · π/2) · sin (1/2 · π/2) ≈ 5,471 · 0,707 ≈ 3,868
f (5π/2 ) = 12^(- 0,5 · 5π/2) · sin (1/2 · 5π/2) ≈ 0,236 · ( - 0,707) ≈ - 0,167
f (4π) = 12^(- 0,5 · 4π) · sin (1/2 · 4π) = 0, 022 · 0 = 0
Toppunkt: (π/2,3,868 )
Botnpunkt: (5π/2,- 0,167 )