matematikk.net

Dersom x^2+y^2 er et partall er også x+y et partall
Sliter med fremgangsmåten på denne oppgaven. Hadde fått den til om vi hadde fått vite at x og y er et partall/oddetall, men siden summen av disse skal være et partall synes jeg oppgaven fort blir en del vanskeligere. Har prøvd meg frem uten hell:

Forsøk på løsning:
Forsøker å gjøre et kontrapositivt bevis, dersom x+y er et oddetall, er også x^2+y^2 et oddetall.

x+y = 2k+1

x= 2k+1-y
y= 2k+1-x

x^2+y^2 = (2k+1-y)^2 + (2k+1-x)^2 = 4k^2 + 1 - y^2 + 4k^2 + 1 - x^2
Får da at:

x^2 + y^2 = 8k^2 + 2
Dersom jeg faktoriserer dette får jeg at x^2 + y^2 er et partall:

x^2 + y^2 = 2(4k^2+1)
siden (4k^2+1) er et vilkårlig heltall: x^2+y^2 = 2n = partall.

Hva gjør jeg feil?

Tåkelur wrote:Dersom x^2+y^2 er et partall er også x+y et partall
Sliter med fremgangsmåten på denne oppgaven. Hadde fått den til om vi hadde fått vite at x og y er et partall/oddetall, men siden summen av disse skal være et partall synes jeg oppgaven fort blir en del vanskeligere. Har prøvd meg frem uten hell:

Forsøk på løsning:
Forsøker å gjøre et kontrapositivt bevis, dersom x+y er et oddetall, er også x^2+y^2 et oddetall.

La $x+y$ være odde. Da er $(x+y)^2=x^2+y^2+2xy$ odde, men da må $x^2+y^2$ være odde siden $2xy$ er like.

Når det gjelder din fremgangsmåte: Se først på utregningen din av parentesene som er kvadrert. Her ser det ut til at du tenker at $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2$, men dette stemmer ikke - husk kvadratsetningen, at $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Har vi tre ledd i parentesen blir det enda fler "kryssledd" i utregningen.

Det kan hjelpe å regne ut $(2k+1-y)^2$ ved å skrive det som $\bigl((2k+1)-y\bigr)^2 = (2k+1)^2 - 2\cdot (2k+1)\cdot y + y^2$. Hva ender du med til slutt om du nå regner ut?

Gustav wrote: La $x+y$ være odde. Da er $(x+y)^2=x^2+y^2+2xy$ odde, men da må $x^2+y^2$ være odde siden $2xy$ er like.

Takk, tror jeg forstår hva du mener. siden x+y er odde må også $(x+y)^2$ være odde. Og $(x+y)^2 = x^2+y^2+2xy$.
Vi vet at 2xy er et partall siden det er delelig på to, så derfor må $x^2+y^2$ være et oddetall for at hele summen skal bli et oddetall.
Men her må jeg vel strengt tatt bevise videre at et partall + et oddetall = et oddetall?

Altså:
$2xy+(x^2+y^2)=
2k+(2n+1)=
2k + 2n + 1 =
(2k+2n) + 1$
Vi vet at 2k og 2n er to hele partall, vi kan skrive disse som 2m og får
$2m+1$ som er definisjonen på et oddetall.

Har dermed bevist at dersom $x^2+y^2$ er et oddetall så er $x+y$ et oddetall.

SveinR wrote:Når det gjelder din fremgangsmåte: Se først på utregningen din av parentesene som er kvadrert. Her ser det ut til at du tenker at $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2$, men dette stemmer ikke - husk kvadratsetningen, at $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Har vi tre ledd i parentesen blir det enda fler "kryssledd" i utregningen.

Det kan hjelpe å regne ut $(2k+1-y)^2$ ved å skrive det som $\bigl((2k+1)-y\bigr)^2 = (2k+1)^2 - 2\cdot (2k+1)\cdot y + y^2$. Hva ender du med til slutt om du nå regner ut?

Se der ja, det gikk litt fort når jeg løste opp parantesene. Løste dem opp som om det skulle vært ganger mellom dem, og ikke tre forskjellige ledd.

Dersom jeg gjør det som du foreslår (setter inn parantesene for x og y og regner ut) ender jeg opp med
$x^2+y^2+8k^2+8k-4ky-4kx-2y-2x+2 = 2m+1$

Faktoriserer til
$x^2+y^2+2(4k^2+4k-2ky-2kx-y-x+1)=2m+1$

Siden alt er heltall kan dette skrives som
$x^2+y^2+2(n)=2m+1$

Trekker fra 2n og får
$x^2+y^2=2m+1-2n$

Beviser så at et oddetall-partall = et oddetall:
$2m+1-2n=2(m-n)+1$

Siden m og n er heltall kan det skrives om til
$2l+1$ som er definisjonen på et oddetall.

$x^2+y^2=2l+1$

Har dermed bevist at dersom $x+y$ er et oddetall er også $x^2+y^2$ et oddetall. Ved kontrapositivt bevis har jeg derfor også bevist at dersom $x^2+y^2$ er et partall, er også $x+y$ et partall.

Takker så mye for hjelpen!

Tåkelur wrote: Men her må jeg vel strengt tatt bevise videre at et partall + et oddetall = et oddetall?

Ja, men dette er vel ganske åpenbart? Modulo $2$ er dette det samme som at $0+1=1$.

Alternativt: Et partall kan skrives på formen $2k$ for et heltall $k$, mens et oddetall kan skrives på formen $2l+1$ for et heltall $l$. Dermed er summen av et partall og et oddetall $2k+(2l+1)=2(k+l)+1$, som altså er på formen til et oddetall.

Gustav wrote:

Tåkelur wrote: Men her må jeg vel strengt tatt bevise videre at et partall + et oddetall = et oddetall?

Ja, men dette er vel ganske åpenbart? Modulo $2$ er dette det samme som at $0+1=1$.

Ja, det er sant. Igjen, takk for hjelpen! Har forstått hva jeg gjorde feil, og hvordan jeg skal gå frem.