matematikk.net

lurer på om noen kan hjelpe litt med følgende oppgave

et legeme som har temperaturen 100 grader plasseres ved tidspunkt t=0 et sted der temperaturen er konstant 20 grader. La T(t) være legemets temperatur etter t sekunder.

a) hva kan du si om tallet T'(t)?

Tallet T'(t) er proporsjonalt med temperaturforskjellen mellom legemet og omgivelsene.

b) finn et utykk for T(t)

a) Ettersom temperaturen av legemet faller fra 100 til 20 grader, vil grafen til T(t) være strengt avtagende. Altså er (stignings)tallet T'(t)<0.

b) Temperaturforskjellen T(t) - 20 er proporsjonal med T'(t), dvs. at

(1) T'(t) = -k (T(t) - 20)

der k er en positiv konstant. (1) er ekvivalent med differensiallikningen

dT/dt = -k(T - 20)

[itgl][/itgl]dT/(T - 20) = -k[itgl][/itgl]dt

ln(T - 20) = -kt + c[sub]0[/sub] (c[sub]0[/sub] vilkårlig konstant)

e[sup]ln(T - 20)[/sup] = e[sup]-kt + c[sub]0[/sub][/sup]

T - 20 = e[sup]c[sub]0[/sub][/sup]*e[sup]-kt[/sup]

T(t) = 20 + c[sub]1[/sub]e[sup]-kt[/sup]

der c[sub]1[/sub]=e[sup]c[sub]0[/sub][/sup]. Nå er T(0)=100, som innsatt i (1) gir

T(0) = 20 + c[sub]1[/sub] = 100,

så c[sub]1[/sub] = 80. Dermed blir

T(t) = 20 + 80e[sup]-kt[/sup].