matematikk.net

Har følgende oppgave:



Kommer ikke fram til noe svar uansett hva jeg prøver på. Er det noen som kan hjelpe meg?

Formelen for summen av geometriske rekker gir at venstre side

[sigma][/sigma]_(k=0->n) (cosx + isinx)[sup]k[/sup]

= [(cosx + isinx)[sup]n+1[/sup] - 1]/ [cosx + isinx - 1]

= [cos(n+1)x + isin(n+1)x - 1] / [(cosx - 1) + isinx] (anvender de Moivres formel i telleren)

= [(cos(n+1)x - 1) + isin(n+1)x] * [(cosx - 1) - isinx] / [[(cosx - 1) + isinx)]*[(cosx - 1) - isinx]].

Tar vi realdelen på venstre- og høyre side, får vi at

[sigma][/sigma]_(k=0->n) coskx

= [(cos(n+1)x - 1)(cosx - 1) + sin(n+1)x*sinx] / [(cos x - 1)[sup]2[/sup] + sin[sup]2[/sup]x]

= [(cos(n+1)x - 1)(cosx - 1) + sin(n+1)x*sinx] / [1 - 2cosx + cos[sup]2[/sup]x + sin[sup]2[/sup]x]

= [(cos[(n+1)x] - 1)(cosx - 1) + sin[(n+1)]x*sinx] / [2(1 - cosx)]

= 1/2 - cos[(n+1)x]/2 + sin[(n+1)x]*sinx/[2(1 - cosx)]

= 1/2 - cos[(n+1)x]/2 + sin[(n+1)x]*sinx/[4sin[sup]2[/sup](x/2)]
(cosx = 1 - 2sin[sup]2[/sup](x/2) gir 2(1 - cosx) = 4sin[sup]2[/sup](x/2))

= 1/2 - cos[(n+1)x]/2 + sin[(n+1)x]*(2*sin(x/2)*cos(x/2))/[4sin[sup]2[/sup](x/2)]

= 1/2 - cos[(n+1)x]/2 + sin[(n+1)x]*cos(x/2) / [2sin(x/2)]

= 1/2 + [sin[(n+1)x]*cos(x/2) - cos[(n+1)x]*sin(x/2)] / [2sin(x/2)]

= 1/2 + sin[(n+1)x - (x/2)]/ [2sin(x/2)]

= 1/2 + sin[(n+(1/2))x]/ [2sin(x/2)].

Takk for hjelpen!