matematikk.net

Hei har ei Utfordring 7.20 Sigma R 2 2015
Har prøvd å løyse den nedanfor, men er usikker om det er riktig gjort.
Er det nokon som kan hjelpe meg her og vise meg korleis denne skal løysast.

MITT LØYSINGSFORSØK
Ei differensiallikning er gitt ved

y ʹʹ + ky ʹ + y = 0

Avgjer for kva verdiar av k vi får ei løysingskurve av type Ⅰ, type Ⅱ eller type Ⅲ.
Skriv opp den generelle løysinga i kvar tilfelle.

LØYSING TYPE Ⅰ NÅR: k^2+ 4 > 0

k^2 + 4 > 0
k^2 > - 4
k > + 2 ˄ k < – 2

Den karakteristiske likninga har i dette tilfellet to reelle løysingar, r_1 og r_2.
Løysinga til differensiallikninga kan skrivast

y = A · e^(r_1 x) + B · e^(r_2 x)



LØYSING NÅR Ⅱ k^2+ 4 = 0

k^2 + 4 = 0
k^2 = - 4
k = ± 2

Den karakteristiske likninga har i dette tilfellet ei løysing r = – b/2.
Løysinga blir

y = e^( – b/2 · x) · (Ax + B)

LØYSING NÅR Ⅲ k^2+ 4 < 0

k^2 + 4 < 0
k^2 < - 4
k < + 2 ˄ k > – 2
– 2 < k < 2

Den karakteristiske likninga har eit negativt tal under rotteiknet. Med den imaginære eininga
i = √(- 1) kan vi skrive løysingane til likningane slik: r = p ± i · q
Løysinga til likninga blir

y = e^px·(A sin⁡〖qx+〗 B cos⁡qx )

[quote="geil"]Hei har ei Utfordring 7.20 Sigma R 2 2015
Har prøvd å løyse den nedanfor, men er usikker om det er riktig gjort.
Er det nokon som kan hjelpe meg her og vise meg korleis denne skal løysast.

MITT LØYSINGSFORSØK
Ei differensiallikning er gitt ved

y ʹʹ + ky ʹ + y = 0

Avgjer for kva verdiar av k vi får ei løysingskurve av type Ⅰ, type Ⅱ eller type Ⅲ.
Skriv opp den generelle løysinga i kvar tilfelle.

LØYSING TYPE Ⅰ NÅR: k^2+ 4 > 0

Uttrykket under rottegnet blir k^2 - 4, så du får gale konklusjoner selv om tankegangen er riktig.

Takk for tilbakemeldinga.
Då har eg retta det opp, sjå nedanfor
Blir dette då riktig

Utfordring 7.20
Ei differensiallikning er gitt ved

y ʹʹ + ky ʹ + y = 0

Avgjer for kva verdiar av k vi får ei løysingskurve av type Ⅰ, type Ⅱ eller type Ⅲ.
Skriv opp den generelle løysinga i kvar tilfelle.

LØYSING TYPE Ⅰ NÅR: k^2- 4 > 0

k^2 - 4 > 0
(k + 2)(k – 2) > 0
k < – 2 ˄ k > 2

Den karakteristiske likninga har i dette tilfellet to reelle løysingar, r_1 og r_2.
Løysinga til differensiallikninga kan skrivast

y = A · e^(r_1 x) + B · e^(r_2 x)

LØYSING NÅR Ⅱ k^2 – 4 = 0

k^2 – 4 = 0
(k + 2)(k – 2) = 0
k = ± 2

Den karakteristiske likninga har i dette tilfellet ei løysing r = – b/2.
Løysinga blir

y = e^( – b/2 · x) · (Ax + B)

LØYSING NÅR Ⅲ k^2– 4 < 0

k^2 – 4 < 0
(k + 2)(k – 2) < 0
k < – 2 ˄ k < 2
– 2 < k < 2

Den karakteristiske likninga har eit negativt tal under rotteiknet. Med den imaginære eininga
i = √(- 1) kan vi skrive løysingane til likningane slik: r = p ± i · q
Løysinga til likninga blir

y = e^px·(A sin⁡〖qx+〗 B cos⁡qx )

LØYSING TYPE Ⅰ NÅR: k^2- 4 > 0

k^2 - 4 > 0
(k + 2)(k – 2) > 0
k < – 2 ˄ k > 2

Den karakteristiske likninga har i dette tilfellet to reelle løysingar, r_1 og r_2.
Løysinga til differensiallikninga kan skrivast

y = A · e^(r_1 x) + B · e^(r_2 x)

Her er tankegangen riktig, men du bør uttrykke løsningene ved hjelp av k.

Det samme gjelder for de to andre løsningene også

Tusen Takk
Det skal eg gjere.