matematikk.net

God kveld!

Jeg må mase litt her igjen...

Nå har jeg forsøkt på denne her en liten stund, samt sett på fasitsvaret, men jeg forstår ikke helt hvordan det blir sånn.

Jeg skal finne integralet til [tex]\int (4e^{2x+1})[/tex]

Det jeg har gjort til nå:
Satt konstanten (4) utenfor.

[tex]4 \int(e^{2x+1})[/tex]

Så har jeg brukt substitusjon/variabelskifting og satt [tex]u = 2x+1[/tex], dvs [tex]u' = 2[/tex]

Deretter har jeg satt opp stykket slik:
[tex]4\int (e^u \cdot du)[/tex]

Fyller jeg da inn verdier får jeg noe slikt:
[tex]4 \int(e^{2x+1} \cdot 2)[/tex]

Men hvis jeg nå legger sammen får jeg jo : [tex]\int (8 \cdot e^{2x+1})[/tex]

Svaret skal bli [tex]2e^{2x+1}+C[/tex] - men hvor blir det av konstanten 4? Jeg har en fornemmelse om at jeg kanskje skulle brukt [tex]\int (e^{kx})=\frac{1}{k} \cdot e^{kx} +c[/tex] her en vei, men litt usikker. Hvordan blir det i så fall med tanke på at det er både variabler og konstant i potensen?

Noen som kan gi meg en pekepinn på hva jeg overser her? Har kun holdt på med integraler i 2 dager, så er fremdeles litt fersk...

Hei, substitusjon er en nyttig strategi her - men det er noe du har oversett her.

Som du er inne på, er $u' = 2$. Men det betyr at $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = 2$, som igjen betyr at $\mathrm{d}u = 2\,\mathrm{d}x$.

Så når du skal erstatte $4\int e^{2x+1}\,\mathrm{d}x$ med å bytte variabelen til $u$, må du også ta hensyn til hvordan du kan erstatte $\mathrm{d}x$ med $\mathrm{d}u$.

Hint: Dersom du har $2\,\mathrm{d}x$ i integranden, kan denne erstattes med $\mathrm{d}u$, som vi ser over.

Alternativ løysing ( Kjerneregelen baklengs ):

4[tex]\int[/tex] [tex]e^{2x + 1}[/tex] dx =2 [tex]\int[/tex] 2 e[tex]^{2x + 1}[/tex] dx = [tex]\int[/tex]( 2x + 1 )' e[tex]^{2x + 1}[/tex] dx ( kjerneregelen baklengs ) = 2 e[tex]^{2x + 1}[/tex] + C