matematikk.net

En venn av meg kom med en påstand i mattetimen i går.

Du har et stokastisk førsøk med to utfall som hver har like stor sannsynlighet for å inntreffe, for eksempel at du kaster en mynt og ser på hvilken vei den lander. Påstanden er at dersom du ikke er begrenset av levealder etc., vil hyppigheten 70% mynt 30% krone (for eksempel) nødvendigvis inntreffe før eller siden, hvis du bare kaster lenge nok.

Han er helt overbevist om at dette må være riktig, men jeg er veldig usikker, og tror kanskje mest at det må være feil.

Jeg tenker slik at hvis vi sier at antall kast har kommet opp i en million, og fordelingen ligger på 50% mynt, må man kaste over 650 tusen mynt etter hverandre for å havne på 70% regnet fra begynnelsen. Det er klart at det tross alt er en viss mulighet for at nettopp det skal skje, og derfor vil det også skje dersom man kan kaste uendelig lenge, men når det skjer har antall kast kommet opp i så mye at det ikke på langt nær holder med 650 tusen mynt etter hverandre lenger.

Det er mulig jeg er naiv i tankegangen. Er det noen som klarer å tenke seg til hvem av oss som har rett, og gi en god begrunnelse?

Det er jo selvfølgelig ingen tvil om at fordelingen kan bli 0,7 i løpet av en serie, men påstanden er at det er helt nødt til å skje i enhver kasteserie.

Dersom du kaster en mynt som er helt perfekt slik at tyngde etc. ikke kan påvirke utfallet, vil det være 50 % sjanse for mynt og tilsvarende for krone siden dette er uavhengige hendelser.

Det er korrekt at fordelingen mellom kron og mynt kan bli 70/30 på ett tidspunkt, men det kan like gjerne bli 30/70.
Det er ingen "lover" og "regler" som tilsier at det skal være en bestemt fordeling mellom utfallene. Det er like sannsynlig å få kaste kron to ganger på rad som det er å få kron og mynt.

Samme eksempel kan trekkes mot f. eks terningkast. Dersom en kaster en terning og triller tallet seks fem ganger på rad, vil det være like sannsynlig å trille fem som seks på det neste kastet.

MEN

Dersom vi fortsetter å kaste denne mynten i all evighet, vil sannsynligheten for at en ønsket serie skal inntreffe, gå mot 1.
Det vil si at vi kan oppleve å kaste 100 kron etter hverandre, eller 100'000'000 mynt etter hverandre. Det er dog svært liten sannsynlighet for at dette skal skje, men det er ikke umulig. Det kan skje - og dersom vi kaster uendelig lenge vil det skje.

Derfor kan kameraten din ha rett når han sier at fordelingen kan bli 70/30 - og det vil på ett eller annet tidspunkt inntreffe dersom vi kaster uendelig lenge.

Hvor mange ganger - og hvor lenge - vi må kaste denne mynten har jeg dog ingen formening eller aning om.



Mulig dette ble litt rotete, men håper du forstår tankegangen min.

Jeg er selvfølgelig enig i alt du sier, men siden du må trekke med alle tidligere kast når du beregner fordelingen på et gitt tidspunkt, tenker jeg at det f.eks. vil ta så lang tid før du kaster 100'000'000 mynt på rad at det uansett vil drukne i havet av tidligere kast.

Jeg er enig i at han kan ha rett, jeg er veldig, veldig usikker. Jeg syntes dette er en veldig vanskelig situasjon.

Det er klart - det vil ta utrolig lang tid før noe slikt inntreffer - men det utelukker ikke muligheten for at det vil skje.

Jeg snakket med en erfaren matematiker i dag som sa at påstanden er gal, og forklarte det med at hvis x er antall myntkast etter hverandre som trengs for å lage en slik fordeling, vil x gå mot uendelig, og sannsynligheten for at denne serien skal inntreffe vil derfor gå mot null. Han sa også at det selvfølgelig er noe som kan skje, men at det ikke må skje. Sjansen for at det skjer er størst i begynnelsen, men går så mot null.

Kan du evt. komme med et svar til hans utsagn, hvis du fortsatt tror at påstanden er riktig?

Tenkte på det samme som matematikeren du snakket med gjorde. Som han sier - det KAN skje, men det MÅ ikke skje