matematikk.net

Heisann!

Jeg har et integral her som jeg forsøker å løse, men som jeg sliter litt med.

[tex]\int e^{2x} cos(2x))[/tex]

Jeg har da tenkt at det er passende å bruke delvis integrasjon her, og setter først opp:
[tex]u' = e^{2x}[/tex], [tex]u = \frac{1}{2}e^{2x}[/tex] og [tex]v = cos(2x)[/tex], [tex]v' = -2sin(2x)[/tex].

Da får jeg [tex]\int e^{2x}cos(2x)=\frac{e^{2x}cos(2x))}{2}-\int -\frac{e^{2x}2sin(2x))}{2}[/tex]



Velger så "ny" u og v: [tex]u = \frac{e^{2x}}{4}[/tex], [tex]u'= \frac{e^{2x}}{2}[/tex] og [tex]v = -2sin(2x)[/tex], [tex]u' = -4cos(2x)[/tex]



Setter nå opp:
[tex]\int e^{2x}cos(2x) = \frac{e^{2x}cos(2x)}{2} - \Big(-\frac{2sin(2x)e^{2x}}{4} - \int -\frac{4e^{2x}cos(2x)}{4}\Big)[/tex]

Ordner fortegn og det blir da:
[tex]\int e^{2x}cos(2x) = \frac{e^{2x}cos(2x)}{2} +\frac{2sin(2x)e^{2x}}{4} - \int \frac{4e^{2x}cos(2x)}{4}[/tex]

Jeg tror jeg har gjort det riktig fram til nå, men jeg er litt usikker? Må jeg gjøre enda en delvis integrasjon, eller er jeg på rett vei?

Etter hva jeg kan se så skal fasiten på denne være: [tex]\frac{e^{2x}sin(2x) + e^{2x}cos(2x)}{4} + C[/tex]

Nå tror jeg at jeg fant ut av den!

Tror jeg hadde gjort noen feil underveis i utregningen, og var ikke klar over at jeg kunne flytte integralet lengst til høyre (som er likt til det opprinnelig integralet) over, og så dele på to på begge sider for å få integralet. Da skjønner jeg hvorfor nevneren på høyresiden gikk fra 2 til 4.

[tex]\int e^{2x}\cos(2x)dx = \frac{e^{2x}\cos(2x)}{2} +\frac{2\sin(2x)e^{2x}}{4} - \int \frac{4e^{2x}\cos(2x)}{4}dx[/tex]

[tex]I=\int e^{2x}\cos(2x)dx = \frac{e^{2x}\cos(2x)}{2} +\frac{2\sin(2x)e^{2x}}{4} - I[/tex]

[tex]2I= \frac{e^{2x}\cos(2x)}{2} +\frac{2\sin(2x)e^{2x}}{4}[/tex]

[tex]I= \frac{e^{2x}\cos(2x)}{4} +\frac{\sin(2x)e^{2x}}{4}[/tex]


ps.
der fant du ut av det ja...

Janhaa wrote:[tex]\int e^{2x}\cos(2x)dx = \frac{e^{2x}\cos(2x)}{2} +\frac{2\sin(2x)e^{2x}}{4} - \int \frac{4e^{2x}\cos(2x)}{4}dx[/tex]

[tex]I=\int e^{2x}\cos(2x)dx = \frac{e^{2x}\cos(2x)}{2} +\frac{2\sin(2x)e^{2x}}{4} - I[/tex]

[tex]2I= \frac{e^{2x}\cos(2x)}{2} +\frac{2\sin(2x)e^{2x}}{4}[/tex]

[tex]I= \frac{e^{2x}\cos(2x)}{4} +\frac{\sin(2x)e^{2x}}{4}[/tex]


ps.
der fant du ut av det ja...

Hehe, ja, jeg så ganske tidlig at det var samme integral på høyre siden, men skjønte ikke helt hva jeg skulle gjøre med det - tror ikke jeg har vært borti en slik oppgave før, så tenkte ikke på at det var mulig...

Tusen takk for at du tok deg tid til å skrive løsningsforslag!

Så her:

[tex]I=\int e^{2x}\cos(2x)dx = \frac{e^{2x}\cos(2x)}{4} +\frac{\sin(2x)e^{2x}}{4} + C[/tex]

Janhaa wrote:Så her:

[tex]I=\int e^{2x}\cos(2x)dx = \frac{e^{2x}\cos(2x)}{4} +\frac{\sin(2x)e^{2x}}{4} + C[/tex]

Tusen takk!