matematikk.net

To spørsmål...

1)En kule har sentrum i origo O. Punktet P (3,0,4) ligger på kula. Finn likningen for det planet som tangerer kula i P.

2)Kurven K er gitt ved likningen

r=cos^2 θ, θ E[0,2π]

Finn arealet av det flatestykket som er avgrenset av kurven K.


Veldig takknemlig for svar:)
[rot][/rot]

og det haster litt..

1) Denne kula er gitt ved likningen

0 = F(x,y,z) = x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup] + z[sup]2[/sup] - (3[sup]2[/sup] + 0[sup]2[/sup] + 4[sup]2[/sup]) = x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup] + z[sup]2[/sup] - 25.

Ergo blir grad(F(x,y,z)) = <[part][/part]F/[part][/part]x, [part][/part]F/[part][/part]y, [part][/part]F/[part][/part]z> = <2x, 2y, 2z>. Altså blir grad(F(3,0,4)) = <2*3, 2*0, 2*4> = <6, 0, 8>. Likningen til planet som tangerer kula i punktet (3,0,4) blir dermed

Grad(F(3,0,4)) • <x - 3, y - 0, z - 4> = 0

<6, 0, 8> • <x - 3, y - 0, z - 4> = 0

6(x - 3) + 0(y - 0) + 8(z - 4) = 0

3(x - 3) + 4(z - 4) = 0

3x - 9 + 4z - 16 = 0

3x + 4z = 25.



2) Arealet A av området begrenset av kurven K er gitt ved

A = [itgl][/itgl]_(t=0>2[pi][/pi]) r[sup]2[/sup] dθ = [itgl][/itgl]_(t=0>2[pi][/pi]) cos[sup]4[/sup]θ dθ

Formelen cos(2x) = 2cos[sup]2[/sup]x - 1 gir at

(1) cos[sup]2[/sup]x = [1 + cos(2x)] / 2.

Herav følger at

r[sup]2[/sup] = [cosθ[sup]2[/sup]][sup]2[/sup]
= [1 + cos(2θ)][sup]2[/sup] / 4 (Setter x=θ i (1))
= [1 + 2*cos(2θ) + cos[sup]2[/sup](2θ)] / 4
= [1 + 2*cos(2θ) + (1 + cos(4θ))/2 ] / 4 (Omforminga av cos[sup]2[/sup](2θ) gjøres ved å sette x=2θ i (1))
= [2 + 4*cos(2θ) + 1 + cos(4θ)] / 8
= [3 + 4*cos(2θ) + cos(4θ)] / 8

Dermed får vi at

A = (1/8) [itgl][/itgl]_(t=0->2[pi][/pi]) 3 + 4*cos(2θ) + cos(4θ) dθ

=(1/8)[3t + 2*sin(2θ) + sin(4θ)/4 ]_(t=0>2[pi][/pi])

= (1/8)*3*(2[pi][/pi])

= 3[pi][/pi]/4.

tusen hjertelig!

Nå skal det vel nevnes at dette er VGS-forum, og at gradient[og heller ikke partiell derivert] inngår i pensum.

Oppgave 1 kan gjøres på følgende måte:

Hvis punktet (3,0,4) er på kula og kula ligger i origo, ja da bruker vi [3,0,4] som normalvektor til planet. Vi har nå et punkt og en normalvektor.

bruker formelen

A(X-X_1) + B(Y-Y_1) + C(Z-Z_1) = 3(x-3) + 0 + 4(Z-4) = 3x - 9 + 4z - 16 = 3x + 4z = 25.