matematikk.net

Hei

Har fått ei oppgåve som eg sitt litt fast med.

Oppgåvo lyder som følgjande:
Kor langt opp går ein 10 meter lang stege på veggen dersom det står ein boks på 1*1.
Veggen er 90 graders(rett opp frå bakken.)

Kall avstanden fra stigens fot til veggen for y

Da har vi to ukjente, x og y og må finne to sammenhenger. En sammenheng er pytagoras: x² + y² = 10² og en annen er de formlike trekantene (3 stk) som dannes.

Forholdet mellom trekanter:
x/y = (x-1)/1
y = x/(x-1)

Setter inn i pytten:

x² + x²/(x-1)² = 10²
(x²(x-1)²+x²)/(x-1)² = 100
x²(x²-2x+1) + x² = 100(x²-2x+1)....kvadratsetn...

Når du trekker sammen dette får du en 4-gradslikning med 4 løsninger der 2 praktisk sett er relevante.

La x og y være avstanden fra kassen til hhv. foten og toppen av stigen. Så avstanden fra foten av stigen til veggen er x+1 mens avstanden fra toppen av stigen ned til bakken er y+1.
Vha. av formlike trekanter får vi at x/1 = 1/y, dvs. at

(1) xy = 1

Videre gir Pytagoras læresetning at

(x + 1)[sup]2[/sup] + (y + 1)[sup]2[/sup] = 10[sup]2[/sup]

x[sup]2[/sup] + 2x + 1 + y[sup]2[/sup] + 2y + 1 = 100

x[sup]2[/sup] + 2x + xy + y[sup]2[/sup] + 2y + xy = 100. ( 1 = xy iht. (1))

(x[sup]2[/sup] + 2xy + y[sup]2[/sup]) + (2x + 2y) = 100

(x + y)[sup]2[/sup] + 2(x + y) = 100

(x + y + 1)[sup]2[/sup] = 101

x + y = [rot][/rot]101 - 1

x + (1/x) = [rot][/rot]101 - 1 (y = 1/x ifølge (1))

x[sup]2[/sup] - ([rot][/rot]101 - 1)x + 1 = 0

(2) x = ([rot][/rot]101 - 1 ± [rot][/rot]d) / 2

der

d = ([rot][/rot]101 - 1)[sup]2[/sup] - 4*1 = 101 - 2[rot][/rot]101 + 1 - 4 = 98 - 2[rot][/rot]101.

Innsatt i (2) gir dette

x ≈ 0,11 eller x ≈ 8,94.

M.a.o. når stigen 1,11 meter eller 9,94 meter opp på veggen.