matematikk.net

ei kule K er gitt ved likningen: x^2+y^2+z^2-4x-6y-4z=8
et plan er gitt ved likningen: 2x+2y+z-3=0

sentrum i kula er (2,3,2) og radien er 5. avstanden mellom sentrum i kula til planet er 3.

Oppgave: planet skjærer ut en sirkel av kula. Finn radien i sirkelen.

Sentrum S=(2,3,2) i kula har avstand 3 til planet [symbol:pi] gitt ved likningen 2x + 2y + z - 3 = 0. Følgelig er det et unikt punkt T i [symbol:pi] som er slik TS er en normalvektor til [symbol:pi] med lengde 3. La α være et plan som inneholder vektoren TS. Ved å slå en sirkel i α med sentrum i S og radius 5, vil sirkelbuen skjære [symbol:pi] i to punkter P og Q. Trekanten PQS er da likebeint og T er midtpunktet på linjestykket PQ. Altså er T sentrum og PT(=QT) radiusen i sirkelen som utgjør skjæringen mellom planet [symbol:pi] og kula K. Men nå er trekant PST en rettvinklet trekant med hypotenus PS=5 og katet ST=3. Dermed får vi vha. av Pytagoras læresetning at den andre kateten PT=4.