Page 1 of 1
differensialligning
Posted: 09/03-2006 22:09
by Guest
y'+y=1
Noen som kan ta denne for meg? har prøvd og prøvd men får ikkje til
Posted: 09/03-2006 22:41
by Solar Plexsus
Den karakteristiske ligningen til den homogene differensiallikningen
(1) y' + y = 0
er r + 1 = 0, dvs. r = -1. Følgelig er y = C*e[sup]-x[/sup] der C er en vilkårlig konstant, løsningen av (1).
Den inhomogene differensiallikningen
(2) y' + y = 1
har partikulærløsningen y = 1. Dermed blir den generelle løsningen av (2)
y = C*e[sup]-x[/sup] + 1.
hm
Posted: 09/03-2006 22:48
by Guest
Det er ikke noen anna måte å vise utregningen på? Vi har nettopp begynt med diff likninger, og har lært å løse separable diff ligninger, men det var ikke på denne måten...
Du gjør sikkert alt i et, men vi måtte sette y'=dy/dx, samle x og y utrykkene på hver side, så løse integralet av de to..
Er det mulig å gjøre det på den måten?
Posted: 09/03-2006 23:34
by Solar Plexsus
Du har rett i at dette er en separabel differensiallikning. Ved å erstatte y' med dy/dx får vi nemlig at
dy/dx + y = 1
dy/dx = 1 - y
dy/(1 - y) = dx
[itgl][/itgl] dy/(1 - y) = [itgl][/itgl]dx osv.
Posted: 09/03-2006 23:53
by Guest
Muligens en litt mer intuitiv måte.
y'+1*y=1
Trikset er å gange med e[sup]F(y)[/sup], hvor F(y)=[itgl]1[/itgl]
Dvs. man ganger med e[sup]x[/sup].
Da får man
e[sup]x[/sup]*y'+e[sup]x[/sup]*y=e[sup]x[/sup]
Ser man nøye etter kan man ta en baklengs delvis derivasjon på venstre side.
(e[sup]x[/sup]*y)'=e[sup]x[/sup]
Men da kan man jo lett integrere begge sider og dele på e[sup]x[/sup].
e[sup]x[/sup]*y=e[sup]x[/sup]+C
Dette gir den generelle løsningen
y=1+C*e[sup]-x[/sup]
Har man inital betingelser kan man bestemme C-en.