matematikk.net

Find fY(y) if Y = X^2 and fX(x) = 6x(1-x), 0<x<1

Vi har jo et teorem som sier at om Y = X^2, så er
fX(x) = 1/2[rot]y[/rot] * (fX([rot]y[/rot]) + fX(-[rot]y[/rot]))


Jeg får da at
[rot]Y[/rot] = X
-[rot]Y[/rot] = -X

fX([rot]Y[/rot]) = 6x-6x^2
fX(-[rot]Y[/rot]) = -6x-6x^2

som igjen gir

fY(y) = 1/2x * ((6x + 6x^2) + (-6x - 6x^2))
= 1/2x * (-12x^2)
= -12x^2/2x
= -6x

Kan dette stemme?

Legg merke til at x kun er definert i intervallet <0,1>. Dette innebærer at

F[sub]Y[/sub](y) = P(X[sup]2[/sup] ≤ y) = P(0 ≤ X ≤ [rot][/rot]y) = F[sub]X[/sub]([rot][/rot]y) - F[sub]X[/sub](0) = F[sub]X[/sub]([rot][/rot]y).

Ved å anvende kjerneregelen får vi at

f[sub]Y[/sub](y) = F[sub]Y[/sub]'(y) = D[sub]x[/sub](F[sub]X[/sub]([rot][/rot]y))
= f[sub]X[/sub]([rot][/rot]y)/(2[rot][/rot]y) = 6([rot][/rot]y - y) / (2[rot][/rot]y) = 3(1 - [rot][/rot]y).